微分在几何意义方面怎么用理解?

发布网友 发布时间：2022-05-29 20:56

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热心网友 时间：2023-11-26 05:47

所有引号内的词语都表示直观形象但是可能不严谨的叙述

五角星★内的是关键点

假定函数可微，在此基础上叙述“形象的理解”

如果你在函数图像上间隔固定的x轴距离Δx取点，就可以得到一组离散的点。可以把这些点之间用线段连起来，这样这函数图象就变成了一条“折线”。当减小这个固定距离的时候，点就会越来越密。折线“看起来”就会越来越像函数“真正的样子”。直观理解，如果这个固定距离“变成”“无穷小”，那么这折线就会“变成”函数图象“原本的样子”。

（很遗憾，下面一段有图就很好理解。但知道上没有图，只能用繁琐抽象的文字叙述了，希望你有耐心看完，并不复杂，只是要耐心看。打这么多字也不容易）

我们现在在这些折线的点中任选两个相邻的作为我们关注的对象。这两个点的x轴坐标分别为x0和x0+Δx。现在我们在x0点作一条切线g(x) = A x + B。A是切线的斜率（很明显，函数在x0点的这个斜率A只和这个点x0有关，如果x0固定了，它自然就是固定的常量了。而Δx是我们另外引入的一个量，两者当然无关）。当从x0点到x0+Δx时，切线也有个增量Δg(x) = g(x0 + Δx) - g(x0) = A Δx，而对应的f(x)的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)。我们知道函数的增量计算很麻烦，往往是非线性的。那么能不能将其“化为”我们容易理解的，线性的呢？★也就是说，我们想用切线的增量来近似代替函数的真正增量Δy。★那么这必然就有一个误差o(Δx) = Δf(x) - Δg(x) = Δy - A Δx。如果这个误差o(Δx) 是“可控的”，也就是说它比切线的增量A Δx “小若干个数量级”（高阶无穷小），以至于“几乎不影响A Δx的值”。从而我们可以安全的“忽略误差”，这时我们就可以“安全地”用A Δx 来“代替”函数实际的增量Δy，并称其为函数在x0点处的微分。

追答例如，从x = 0.5开始，间隔1，那么就是x = 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5 ……

热心网友 时间：2023-11-26 05:47

热心网友 时间：2023-11-26 05:48