求人教版九年级数学竞赛题
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发布时间：2022-05-27 07:49
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时间：2023-10-12 01:20
余姚世南中学培优生选拔(2008.12.2)
数学竞赛试卷
(满分120分，考试时间120分钟)
一、选择题:（每题5分，共30分）
1．将正偶数按下表排成5列
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 2 4 6 8
第二行 1 6 1 4 1 2 1 0
第三行 1 8 2 O 22 24
第四行 …… …… 2 8 2 6
……
则2 008应该排在 ( )
A．第2 5 1行，第5列 B．第2 5 0行，第3列
C．第5 0 0行，第2列 D．第5 0 1行，第1列
2．如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．轮船在河流中逆流而上，下午5时，船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中，船长马上命令掉转船头寻找，经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇。如果轮船在整个过程中的动力不变，那么据此判断，轮船失落橡皮艇的时间为（ ）
A．下午1点 B．下午2点 C．下午3点 D．下午4点
4．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米
的矩形。则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 ( ）
A．20支 B.2l支 C．2 4支 D．2 5支
第4题图
5．对于直角坐标平面内的任意两点A（x1,y1）,B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：
∣∣AB∣∣＝∣x2-x1∣+∣y2-y1∣，给出下列三个命题：
若点C在线段AB上，则∣∣AC∣∣＋∣∣CB∣∣＝∣∣AB∣∣
在⊿ABC中，若∠C＝90°，则∣∣AC∣∣2＋∣∣CB∣∣2＝∣∣AB∣∣2
在⊿ABC中，∣∣AC∣∣＋∣∣CB∣∣＞∣∣AB∣∣
其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为x1 、x2 ，x2+x1 =-,x2.x1 =.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|＋|b|＋|c|的最小值为（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每题5分，共35分）
7．已知，y=4cosxsinx＋2cosx－2sinx－1,0≤x≤90°.问x为__________值时，y可以取非负值.
8．有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，且底CD的端点在圆周上，试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式__________.
9．在⊿ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，能完全覆盖⊿ABC的圆的半径R的最小值为____________.
10．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP= , 若李华在点A朝着影子的方向以v1匀速行走，则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为____________.
11．如图，延长四边形ABCD的四边分别至E、F、G、H，使AB＝nBE，BC＝nCF，CD＝nDG，DA＝nAH(n＞0)，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积之比为____________(用含n的代数式表示)．
12．已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系为____________．
13．设以边形A1A2A3…An中，有m个点B1，B2，B3，…，Bm，连接它们成一张互相毗邻的三角形网(n=6，m=4时的情形如图)，称每个小三角形为一个“网眼"，求网*有__________个“网眼” (用含n，m的代数式表示)．
三．解答题（14题12分，15题13分，16题14分，17题16分，共55分）
14．（12分）有10个不同的球，其中有2个红球，3个白球，5个黄球。若取得1个红球得5分；取得1个白球得2分；1个黄球得1分。今从中取出5个球，求使总分大于10分且小于15分的取法有多少中？
15．（13分）在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。
⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。
⑵为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。
16. （14分）对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点(x0，x0)为此函数的不动点．现有函数y=，
(1)若y=有不动点(4，4)，(一4，-4)，求a，b．
(2)若函数y=的图像上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件．
(3)已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=
的图像与函数y= 的图像有什么关系?与函数y= 的图像又有什么关系?
17．（16分）
(1)如图，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线y＝ax2于点B(1，)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D。当x＞0时，在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。
(2)：在(1)题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x＞0时，在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形。若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。
参*
一、选择题1-6：ADDBBB
二、填空题7：0≤x≤30° 8：y=-x2/R+2x+4R 9：7.5 10：
11：(n2+2n+2)：n 12： 或
或，为小于的任意锐角或．
13：S(n,m)=n+2m-2
14：设取红球、白球、黄球分别为x, y, z个,0≤x≤2，0≤y≤3，0≤z≤5
则10＜5x＋2y＋z＜15，x＋ y＋z＝5，分类：
当x＝0时，y不存在
当x＝1时，1＜y＜6，取y＝2，3
当x＝2时，－3＜y＜2，取y＝0，1
取法总数为110种
15：⑴如下图，△ABC与△是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。
⑵容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。
设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△的相似比为k，则k＞1。
∵ △的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴ 在△ABC中，与△中两边对应相等的两条边只可能是b与c
∵ b＜c＜kc
∴ 在△中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
∴
∴ 由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△的相似比k。
下面考虑相似比k所受到的*：
∵ △ABC的三边长分别为，且a＞0，k＞1
∴
解之得 1＜k＜ （注：≈1.168）
因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长。然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△的三边长。通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。
16：(1)由题意，得解得
(2)令=x，得3x+a=x2+bx(x≠-b)
即 x2+(b—3)x-a=O．
设方程的两根为x1，x2，则两个不动点(x1，x2)，(x2，x2)，由于它们关于原点对称，所以x1+x2=0，
∴，解得，
又因为x≠-b，即 x≠-3，所以以a≠9，
因此a，b满足条件a>0且a≠9，b=3．
(3)由(2)知b=3，此时函数为y=，
即y=3-．
∴ 函数y=的图像可由y=-的图像向上平移3个单位得到．
又函数y=-的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位得到，
所以函数y=的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．
17：如图(1) AB:y=- x+2 3
Y= 3 X2
E(1,0) C(1, 3 /3) OC: Y= 3/3 x
AC:Y= Y= 3/3 x +2 3 /2
OD=2 3 / 3当
OD PQ 时 ,(1)DQ=OP时,四边形DOPQ为等腰梯形如图(1)
由题意得,三角形OCD为等边三角形,所以Q是AD与抛物线的交点
- 3 /3 x+2 3 /3 = 3 x2
Q(2/3,4 3 /9),P(2/3,2 3 /9)
(2)∠ODQ=900时,四边形DOPQ为直角梯形如图(2)√
Q(√6 /3,2√3 /3)P(√6 /3, √2 /3)
当DQ//OP时
OD=PQ P(2,2√3 /3)
∠OPQ=900时 P(3/2, √3 /2)
所以P1(2/3,2√3 /9),Q1(2/3,4√3 /9),P2(2,2√3 /3),Q2（ 1,√3）,P3(√6 /3, √2 /3) Q4(√6 /3,2√3 /3), P4(3/2, √3 /2),Q4(1, √3 )
(2)
Q(√3(-K+√K2+8)/6, √3(K2-K√K2+8+4)/6)
P(√3(-K+√K2+8)/6, √3(-K2+K√K2+8)/6)
