如何证明斯科伦定理?

发布网友发布时间：2022-05-25 12:31

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热心网友时间：2023-10-28 11:24

证明:

前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 Δ，且,φ是Δ中的命题公式
如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且，其中集合 CL(φ)是由命题公式φ转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果ψ是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause(ψ)也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的
如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作E = (该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是φ在转化成Clause(φ)过程中，去除有限量词的方法Skolemisation,化为Skolem范式)
那么很显然也是可满式的集合，那么同样是可满足的
由于语言集合L中的元素是可数的所以是也是有限可数的集合
如果我们有一个模型，记作 I 且 ,赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite)
由于我们说语言理合L是是可数的，那么指派解释域D也是可数的
那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 D / M = (我们通过等价关系来指派解释等价性)且,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理， ,那么我们就可以说
所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理
引用
Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131
María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510
Rothmaler, Philipp (2000), "Introction To Model Theory", CRC
参见
Skolem悖论
模型论