怎么证明√2是无理数?

发布网友发布时间：2022-05-24 12:26

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热心网友时间：2023-10-13 04:36

下面是毕达哥拉斯提出的证明方法：

假定√2是有理数，即√2 = p/q，在这里p和q是没有公约数的正整数（没有除1以外的其它正整数公因子），于是 p = √2q ，或p2 = 2q2因为p2是个整数的2倍，可知p2是个偶数，从而p必定是偶数。令p=2r，于是前面的等式成为4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是个偶数，从而q必定是偶数。由于p、q都是偶数，它们有一个公约数2，这与最初的假设p,q是没有公约数的正整数相矛盾。于是，由√2是有理数的假定引出了不可能的情况，因而这个假定必然是不对的。

这个证明是数学史上最早的一个技巧高超的证明，用的是反证法。相传，毕达哥拉斯对这个证明结果非常珍惜，不打算公开公布这个结果。他的一个学生为了好奇，悄悄走到老师家里偷出了文件，这个证明方法才被公开出来。从而引起了科学界的第一次数学危机。

热心网友时间：2023-10-13 04:36

证明 √2是无理数
用反证法，如果√2是有理数，则可表示成两个互质整数的商√2＝a/b,（这里a与b互质）
2=a^2/b^2
2b^2=a^2
因为两奇数的积是奇数，2b^2是偶数所以a只能是偶数，设a=2n
b^2=2n^2,同理b也只能是偶数，与a,b互质矛盾。所以√2不是有理数，只能是无理数