90℃等边三角形

发布网友发布时间：2022-05-24 12:50

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热心网友时间：2023-10-14 03:34

（1）由题意知：当F与C点重合时D正好在AB上，此时三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根据∠B的正弦值及BC的长求出等边三角形的边长；（2）可设△DEF从初始位置移动x秒后得到△D 1 E 1 F 1 ，那么在x秒内M点移动的距离就是BM的长，由于∠D 1 MN=∠BME 1 =∠ABC=30°，因此△BE 1 M是个等腰三角形，过E 1 作E 1 G⊥BM，那么BG=GM= BM，可在直角三角形BE 1 G中，根据BE 1 的长求出E 1 G（BE 1 的长就是△BDF平移的距离），由此可得出BM的长除以用的时间即可得出M点的速度．求N点的速度解法类似，过F作FH⊥D 1 F 1 ，设垂足为H，那么FH就是N点移动的距离，同样可在直角三角形FHF 1 中求出FH的长，进而可得出其速度；（3）本题要先找出几个关键点：当P与M重合时，那么根据P的速度可表示出DM的长，而ME=BE为三角形平移的距离，据此可求出t=1．当P到达E点时，DP=DE，可求得此时t= ． ①当P在DM之间时，即0≤x≤1，MN的长可在直角三角形DMN中，根据DM和∠DMN的余弦值求出，过P作PP 1 ⊥MN于P 1 ，那么PP 1 就是MN边上的高，可在直角三角形MPP 1 中根据MP的长和∠PMP 1 的正弦值求出（MP可根据DE-DP-ME来得出）．据此可得出关于S，x函数关系式． ②当P在EM之间时，即1＜x≤ ，可过P作PP 2 ⊥AB与P 2 ，那么PP 2 的长可在直角三角形PP 2 M中，根据PM的长和∠BME的正弦值求出，进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式． ③当P在EF上运动时，即 ≤x≤3，解法同上．根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围，可求得S的最大值及对应的x的值．【解析】（1）当F点与C点重合时，如图1所示： ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=60° ∵∠B=30°， ∴∠BDF=90° ∴FD= BC=3；（2）过E点作EG⊥AB， ∵∠DEF=60°，∠B=30°， ∴∠BME=30°， ∴EB=EM 在Rt△EBG中，BG=x×cos30°= x， ∴BM=2BG= x， ∴M点在BA上的移动速度为 = ， F点作FH⊥F 1 D 1 ，在Rt△FF 1 H中，FH=x×cos30°= x，点N在BA上的移动速度为 = ；（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°= = （3-x），当P点运动到M点时，有2x+x=3， ∴x=1 ①当P点在DM之间运动时，过P点作PP 1 ⊥AB，垂足为P 1 在Rt△PMP 1 中，PM=3-x-2x=3-3x， ∴PP 1 = （3-3x）= （1-x）， ∴y与x的函数关系式为：y= × （3-x）× （1-x）= （x 2 -4x+3）（0≤x≤1）， ②当P点在ME之间运动时，过P点作PP 2 ⊥AB，垂足为P 2 ，在Rt△PMP 2 中，PM=x-（3-2x）=3（x-1）， ∴PP 2 = （1-x）， ∴y与x的函数关系式为：y= × （3-x）× （1-x）， =- （x 2 -4x+3）（1＜x≤ ）． ③当P点在EF之间运动时，过P点作PP 3 ⊥AB，垂足为P 3 ，在Rt△PMP 3 中，PB=x+（2x-3）=3（x-1）， ∴PP 3 = （x-1）， ∴y与x的函数关系式为：y= × （3-x）× （x-1）， =- （x 2 -4x+3）（ ≤x≤3）， ∴y=- （x-2） 2 + ， ∴当x=2时，y 最大 = ，而当P点在D点时，y= ×3× × = ， ∵ ＞， ∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．