求证99^10-1能被100整除

发布网友发布时间：2022-05-26 14:24

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热心网友时间：2023-10-21 22:03

99^10,先忽略90，只剩下9，那么9*9=81，就是81^5，所以81^5末位是1，那么-1，末位就是0，由此可知第一个末位是0，可以被10整除
(100-1)^10=(10000-200+1)^5
唯一的个位数只有括号末位的1*1，其余都是>1*100以上，跟个位数有关系的只有1*1，其余则是百位以上，而没有10位，前一推论出末位是1，所以十位为0，那么-1，就可以被100整除

热心网友时间：2023-10-21 22:03

∵99^10-1
=(99^10-99^8)+(99^8-99^6)+(99^6-99^4)+(99^4-99^2)+99^2-1
=(99^2-1)*99^8+(99^2-1)*99^6+(99^2-1)*99^4+(99^2-1)*99^2+(99^2-1)
=(99^2-1)*(99^8+99^6+99^4+*99^2+1)
=(99+1)*(99-1)*(99^8+99^6+99^4+*99^2+1)
=100*(99-1)*(99^8+99^6+99^4+*99^2+1)
∴99^10-1能被100整除

或用二项式定理:
∵99^10-1
=(100-1)^10-1
=C(10,0)*100^10-C(10,1)*100^9+C(10,2)*100^8-……+C(10,8)*100^2-C(10,9)*100+C(10,10)*1-1
=100^10-C(10,1)*100^9+C(10,2)*100^8-……+C(10,8)*100^2-C(10,9)*100+1-1
=100*（100^9-C(10,1)*100^8+C(10,2)*100^7-……+C(10,8)*100-C(10,9)）
∴99^10-1能被100整除追问第3部到第4部看不懂再说第4部后为什么就可以推出能被100整除

热心网友时间：2023-10-21 22:04

解：99^10-1≡(-1)^10-1≡1-1≡0(mod100)
注："≡"意思是同余于……(99同余于-1)追问看不懂