勒贝格积分的背景知识

发布网友发布时间：2022-05-27 01:17

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勒贝格积分与实变函数论
集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。
1854年黎曼（德，1826－1866年）定义了黎曼积分，19世纪末，分析的严格化迫使许多数学家认真考虑所
谓“病态函数”，特别是不连续函数、不可微函数的积分问题，如，积分的概念可以怎样推广到更广泛的
函数类上？1898年波莱尔（法，1871－1956年）的测度论（1925年曾任法国海军*），1902年勒贝格
（法，1875－1941年）的博士论文《积分，长度与面积》建立了测度论和积分论，使一些原先在黎曼意义
下不可积的函数按勒贝格的意义变得可积了，可以重建微积分基本定理，从而形成一门新的学科：实变函
数论。成为分析的“分水岭”，人们常把勒贝格以前的分析学称为经典分析，而把以由勒贝格积分引出的实变函数论为基础而开拓出来的分析学称为现代分析。
黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。
19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分（简称R-S积分）等。只要相应的函数性质良好，用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分，它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。