华罗庚杯竞赛题
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发布时间：2022-05-26 19:28
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时间：2023-10-20 07:38
(2006．4．15)
例1．两个正整数相加时，得到一个各位数字相同的两位数，这两个数相乘时，得到一个各位数字相同的三位数，求原来的两个数．
解 由于这两数和为二位数，故它们都不超过二位．由于其积的三位数字相同，故其积可以写成111t(1≤t≤9，t为整数)的形式．
111t＝37×3t．于是这两个数中必有一个为37或74．
若一个数为37，经试验，另一数为18；若一个数为74，经试验，另一个数为3．故填37与18或74与3．
例2．求质数p，使p2＋71的正约数不超过10个．
解 p＝2时，p2＋71＝75＝3×52，d(75)＝2×3＝6＜10，故p＝2是本题的解；
p＝3时，p2＋71＝80＝24×5，d(80)＝5×2＝10≤10，故p＝3是本题的解；
若质数p＞3，则p2≡1(mod 8)p2＋71≡0(mod 8)，故23|p2＋71；
p2≡1(mod 3) p2＋71≡0(mod 3)，故3|p2＋71．
所以，p2＋71＝2α×3β×t．其中α、β∈N*，且α≥3．
当α＝3，β＝1，t若有大于3的质因子，则d(p2＋71)≥4×2×2，故t＝1．此时无质数p满足题意；
当α＝4，β＝1，必有t＝1，此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p满足题意；
当α≥4，β≥1，且等号不同时成立时，d(p2＋71)＞10．
综上可知，解为p＝2，3．
例3．把1－51这51个整数分成17组，每组3个数，各组数的和都相等．
解：1＋2＋3＋…＋51＝52×51÷2＝26×51；故分成每组3个数的和＝26×51÷17＝78．
把1－51这51个数先分成3组，1－17一组，18－34为第二组，35－51为第三组．
如果能把第一组排成递减2的一行数，第二组排成递增1的一行数，则可以排出满足要求的数组来：
17 15 13 11 9 7 5 3 1 16 14 12 10 8 6 4 2
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
43 44 45 46 47 48 49 50 51 35 36 37 38 39 40 41 42
例4．2006100200650＋95的整数部分末两位数字是几？
解：2006100200650＋95＝2006100－910＋910200650＋95＝(200650－95)(200650＋95)＋910200650＋95
＝200650－95＋910200650＋95．
但95的末两位数字为49，而200650的末两位数字与650的末两位数字相同．
计算61，62，63，……的末两位数字，分别得到6，36，16，96，76，56；36；16；96；76；即其末两位数字将出现循环，故650的末两位数字为76，从而200650－95的末两位数字为27．
故原式的整数部分的末两位数字为27．
例5．⑴ 在1，2，3，4，…，2005，2006这2006个平方数的每一个的前面添上适当的“＋”号或“—”号，使其代数和取最小非负整数值．这个最小非负整数值是多少？试证明你的结论？
⑵ 在12，22，32，42，…，20052，20062这2006个平方数的每一个的前面添上适当的“＋”号或“—”号，使其代数和取最小非负整数值．这个最小非负整数值是多少？试证明你的结论？
解 ⑴ 由于这2006个数中有1003个奇数与1003个偶数，故其和为奇数，从而任意改变某些数前的符号，其代数和的奇偶性不变，故无论怎样改变这些数前的符号，都不能使其和为偶数，从而此和不可能等于0，所以，所求的最小非负和最小为1．
又n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0，故可从3起每4个数一组，每组的第1、4两个数前用“＋”号，而第2、3两个数前用“－”，则此2004个数的和为0，再在1前用“－”号，2前用“＋”号，则此2006个数的和为1．
所以，所求的最小非负和为1．
⑵ 同上知，此和不可能等于0．
由n2－(n＋1)2－(n＋2)2＋(n＋3)2＝4，如果在连续8个自然数的平方和中，第1、4、6、7个前面取“＋”号，第2、3、5、8个前面取“—”号，则其代数和为0．
2006＝8×250＋6，若把从72起每依次8个数为一组，按上述方法安排“＋”“－”号，则这些数(共250组))的代数和为0．
12＋22＋32＋42＋52＋62＝91，而(91－1)÷2＝45，且4＋16＋25＝45，故只要在22、42、52前用“－”号，12、32、62前而用“＋”号，则可使其代数和为1．
故，可以安排这2006个平方数前面的“+、－”号，使其代数和等于1．
从而这个最小非负整数值为1．
例6．⑴ 能否找到16个互不相同的整数，使其中任意9个整数的和都不能被9整除；
⑵ 能否找到17个互不相同的正整数也满足此要求？
解：例如，其中8个被9除都余1，另8个数被9整除．这样的16个数中，任何9个都不能被9整除．
由于任取5个数，其中一定有3个数其和为3的倍数，取这5个数被3除的余数，只能是1，2，0．若5个数被3除的余数中，这三种2都有，则每种余数的数各取一个，其和是3的倍数，如果这5个数被3除只有2种余数，则由抽屉原理知，必有3个数被3除的余数相同．取此3个数，其和是3的倍数．
于是，17个数一定能组成5组，每组3个数，其和是3的倍数．
把这5组数的和为3a，3b，3c，3d，3e．考虑a、b、c、d、e这5个数，由上证，其中必有3个数的和为3的倍数，不妨设a+b+c是3的倍数．于是3a+3b+3c是9的倍数，此时，取和为3a、3b、3c的9个数，其和为9的倍数．即任取17个整数，其中一定可以找到9个数，其和为9的倍数．因此找不到17个满足上述要求的正整数．
例7．已知m、n、k为正整数，m≥n≥k，且2m+2n－2k是100的倍数，求m+n－k的最小值．
解 设2m+2n－2k =100t(t∈N)，若n=k，则得2m=100t，不可能，∴n>k．
∴ 2k(2m－k+2n－k－1)=22•52t．由2m－k+2n－k－1为奇数，∴ k≥2．
取m－k=p，n－k=q，(0<q≤p) 则m+n－k=p+q+k．为使此式最小，应使k取最小，故k=2．
∴ 2p+2q－1=25t，t为奇数．∴ 2p+2q的末两位数字为26或76．于是p>4(∵ 24+23<26)，取p、q值试验：
p 5 6 7 8 9 10
2p 32 64 128 256 512 1024
2q的可能值 12，62 48，98 20+50k，k=0，1，2，3，4 14+50k，k=0，1，2，……，9 2+50k，k=0，1，2，……，20．
其中p=9时有解q=6，使m+n－k=p+q+k=17；再对p<15的值试验，得p=10，q=1使m+n－k=p+q+k=13．而p>10时p+q+k>13．
∴ 最小值为13．
例8．把1，2，3，4，5，6，7，8这8个数写在立方体的八个顶点处，在各棱的中点注上该棱两端的两个数的和，共得12个和.这12个和能否只有5个不同的值? 能否只有4个不同的值?
分析 为了解决本题，考虑与某顶点相邻的三条棱中点处可能写的数：
同一顶点出发的三条棱的中点处写的三个数都不同。因为从这一顶点出发的三条棱的另一端点处写的三个数都互不相同。
与1相邻的三条棱的中点处可能写3，4，5，6，7，8，9这7个数中的3个；
与8相邻的三条棱的中点处可能写9，10，11，12，13，14，15这7个数中的3个；
现在考虑最小的数1与最大的数8，与它们相邻的棱的中点处写的数中只有一个数相同，即为9。换句话说，与1和8相邻的棱上出现的数除9外都不可能相同。而且，要在这两个数为一个端点的棱的中点处出现9，必须1与8是同一条棱的两个端点。如果1与8不是同一条棱的两个端点，则与它们相邻的棱就有6条，这6条棱的中点处写的数就有互不相同的6个数。于是所有棱的中点处写的数就不会少于6个。而只有当1与8是同一条棱的两个端点时与它们相邻的棱上只出现5个不同的数。
为此要使条棱中点处写的数只有5个不同的数值。就必须把1与8放在同一条棱的两端。此时，如果让与1相邻的数尽可能大，而与8相邻的数尽可能小。就有可能在各条棱中点处只出现5个数。如下图中的安排就是合要求的一种填法。
不同数值 A B C D E F G H
7，8，9，10，11， 1 6 2 8 7 4 5 3
由上面的分析知，在棱的中点处填的数只有4个不同的值的填法是不可能有的。
例9．有8组密码，都是由三个字母组成的，分别代表一个三位数，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。它们分别是：
WNX RWQ SXW XNS PST NXY QWN TSX
已知其中四个密码分别代表571、439、286、837．
你能破译出这8组密码吗？
解：给出的4组数有12个数码，1－9均有，其中，3重复2次，都在十位；7重复两次，在十、个位；8重复两次，在百、十位．第4个数组837中的每个数字都重复出现过．
在8组密码中，十位重复的有4个字母：N、W、X、S，故其中必有一个字母是3．
⑴ 设N＝3，则837必为WNX或XNS：
① 若W＝8，X＝7，则571无密码组对应，故不可能；
② 若X＝8，S＝7，则286无密码组对应，故不可能；
⑵ 设W＝3，则837为RWQ或QWN，
① 若Q＝7，则571无密码组对应，
② 若Q＝8，则286无密码组对应，故不可能；
⑶ 设X＝3，则SXW＝837或NXY＝837，
① 由于Y只出现1次，与7重复出现矛盾，故NXY＝837不可能；
② 若SXW＝837时，可逐步推出Q＝1，P＝2，X＝3，N＝4，R＝5，T＝6，W＝7，S＝8，Y＝9．这8组密码分别为
743 571 837 348 286 439 174 683
例10．⑴ 能否在一个圆圈上安排数字1，2，3，…，13，使任两个相邻位置上的数之差(大减小)是5或8?
⑵ 能否在一个圆圈上安排数字1，2，3，…，13，使任两个相邻位置上的数之差(大减小)是3，4或5?
解：⑴ 1，6，11，3，8，13，5，10，2，7，12，4，9，即安排完了；
⑵ 由于1，2，3，11，12，13这6个数不能相邻，故它们排在圆圈上后，每两个数间至少要再插入1个数．即余下7个数要插入此6个空档处．由于4只能与此6个数中的1相邻，10只能与这6个数中的13相邻，故4与10也不能单独插入某个空档．这样其余5个数就必须单独插入某个空档，只能用4与10共同插入1个空档，但这两个数又不能相邻，即无法完成这一安排．
