正弦的高次幂积分

发布网友 发布时间：2022-05-27 16:49

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热心网友 时间：2023-11-04 22:57

不定积分求得是原函数，是一个形式积分，没有积分区域。不过你也可以用定积分的方式来理解。积分区域选择为0到x即可。
sin^nx的不定积分要使用数学归纳法来得到，你可以先得到n=1，2，3的，然后猜测一个形式，最后用数学归纳法证明即可。

热心网友 时间：2023-11-04 22:57

对于正弦函数的高次幂积分，我们可以使用以下的公式进行计算：
∫sin(x)^n dx=(sin(x)^(n-1)cos(x))/(n-1)-∫sin(x)^(n-2)cos(x)dx
这个公式可以递归地计算出正弦函数的高次幂积分。
例如，计算∫sin(x)^3 dx：
∫sin(x)^3 dx=(sin(x)^2cos(x))/(2)-∫sin(x)^2 cos(x)dx
∫sin(x)^2 cos(x)dx=(sin(x)cos(x)^2)/(2)-∫sin(x)cos(x)^2 dx
∫sin(x)cos(x)^2 dx=(sin(x)cos(x)^3)/(6)-∫sin(x)cos(x)^3 dx
因此，可以得到：
∫sin(x)^3 dx=(sin(x)^2cos(x))/(2)-((sin(x)cos(x)^2)/(2)-(sin(x)cos(x)^3)/(6))/1
=((sin(x)^3)/3)-(sin(x)^2/(4)-(sin(x)/4-(sin(x)/4*cos(x)^2)/(3))
=((sin(x)^3)/3)-(sin(x)^2/(4)+((4-sqrt(4^3))/4)*sin(x)/3)
=((sqrt(4^3)/4)*sin(x)/3)-(sin(x)^2/(4)+((4-sqrt(4^3))/4)*sin(x)/3)
=(-sqrt(4^3)/4)*sin(x)-(sin(x)^2/(4)+((4-sqrt(4^3))/4)*sin(x)/3)
=(-sqrt(4^3)/4-((4-sqrt(4^3))/4))*sin(x)-(sin(x)^2/(4))
=(-sqrt(4^3)/4-((4-sqrt(4^3))/4))*sin(x)-(sqrt((4^3)/4^2)*sin(x)/2)
=(-sqrt(4^3)/4-((4-sqrt(4^3))/4))*sin(x)-(sqrt((4^3)/4^2)*sin(x)/2)
因此，可以得到：
∫sin(x)^n dx=((-1)^n*sqrt((-1)^n*4^(n-1))*sin(x)/(2^(n-1))-((-1)^n/(2^(n-1))*sum((-1)^k*4^(k-1)*sin(x)/(k!*2^(k-1)))*k!*2^(k-1))