复杂曲面上使用单纯形实现三维两点射线追踪
发布网友
发布时间：2022-05-12 06:41
共1个回答
热心网友
时间：2023-08-23 12:01
在GOCAD项目的框架中，已经提出用三角形来模拟极复杂地质界面。这种对三角形面片的选择是基于任何曲面都可以分解成平面或曲线三角形这一事实而决定的，本节中将展示这种分解可以非常高效的用于解决两点射线追踪问题。射线路径的确定基于费马原理——对于给定的发射点、接收点和反射面，要使每条射线的旅行时最小。最小化过程使用曲面三角剖分的单纯形方法迭代来实现。初始射线可以由试射算法、射线偏移算法或弯曲算法来提供。此外，基于GOCAD软件的几何信息数据可以引入动力学信号，为此，用边界曲面定义三维空间的均匀域，并且发展了一种基于有限状态的自动化新算法，用以确定三维空间中任何给定点的对应区域。
有些文献（G.Farin,1988;J.L.Guiziou,A.Haas,1988）提出了几种方法用于解决三维两点射线追踪问题。通常这些方法可以给出满意的结果，但当存在复杂非规则地质体时，如正断层、逆断层、盐丘等，它们的速度极慢并且往往不能适应这些不均匀体。
本节中，介绍一种基于GOCAD几何数据结构的新方法。不同物性的交界面（层位）由数据插值得到的三角剖分曲面代表（简写作“T-surface”）。实际工作中，用两步插值过程来构造T-surface：
（1）第一步插值由DSI方法（J.L.Mallet,1989，本书第三章）实现，其目的在于计算三角形顶点的位置使得T-surface与所有有效数据吻合。
（2）第二步插值由Bezier或Gregory方法（G.Farin,1988;J.A.Gregory,1980）实现，使得用平滑曲线三角形近似平面三角形。
与基于Bezier，样条或Nurbs的经典方法相比，Gregory的方法允许考虑：
·当前所有有效的不均匀数据（测井数据，地震数据，斜尺数据）；
·某些不精确的数据类型；
·复杂拓扑结构的层位，例如可以考虑一个与盐丘相交的地层。
GOCAD项目的目的不仅在于提供一个有效的复杂地质界面建模工具，它还可以被用于与这些曲面有关的地球物理应用，如射线追踪、偏移、层析……
5.2.1 层位的几何建模和地质意义
下面给出适合于射线追踪的界面（层位）表示法要点。在GOCAD项目中，不同介质的交界面用由无序的三角形面元集合构成的界面图形来表示。面元集合的节点为三角形顶点，节点位置由DSI算法得到的。
假设所有层位都包含在一个代表研究区域D的平行面元体中。层｛H1,H2，…，Hm｝将D分割成一个子区域集合｛D1,D2，…，Dm｝对应于独立的均匀介质，为了定义这些区域，我们将界面定向，也就是每层位有两面（正面和负面）。使用GOCAD提供的图形工具，这种定向可以通过交互的方法实现，这样每个区域可以用一个有向界面的子集来定义。例如，一个区域Dj可以由一系列对应于其边界层位的一些面
来定义。对于给定的三维点P，发展了一种基于有限状态，能够自动返回P所属区域ID号的算法。通过对区域的这种定义，可以很容易的定义介质连续性，而这对被穿过的一系列界面所定义的射线的特征研究来说是非常重要的。
注意到，每个层位都至少分割两种介质。对于我们感兴趣弹性波传播来说，一个介质平滑变化的区域可以用一个空间函数集合来描述，刻划其弹性性质。下面假设每种介质速度为常数。这样在每一区域*线为一直线并且根据斯涅尔定理在界面处不连续的改变方向。
5.2.2 射线追踪问题
设ρ（E,R,Hr）为连接发射点E到接收点R并在层位Hr上反射的一条射线。假设ρ（E,R,Hr）为由对应于地质模型中ρ（E,R,Hr）与层位Hi的交点的n个接触点Ii组成的多边形线：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
记σ（E,R,Hr）为对应射线与模型的接触点Ii的（n个）层位Hi系列，称为ρ（E,R,Hr）的“页码”：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
根据ρ（E,R,Hr）的定义可知，Hr至少有一次包括于σ（E,R,Hr）中，并且在复杂的地质条件下，层位Hi可以几次出现在σ（E,R,Hr）中。例如，盐丘、透镜体或逆断层等。
对应于射线路径ρ＝ρ（E,R,Hr）的旅行时T（ρ）由下式定义：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
这里Vi为射线在包含线段IiIi+1的地质区域Di中的速度，在被线段IiIi+1穿过区域Di（地层）中速度Vi是一常量，并且只要确定IiIi+1的中点所属的区域Di就可以确定这一速度值。
可以看到，T（ρ）是点｛I0，…，Ii，…，In｝的函数，根据费马原理当且仅当ρ（E,R,Hr）为真射线时，这些点对应于T（ρ）的一个局部极值。我们将应用这一性质来求取*近一个给定初始近似值ρ0（E,R,Hr）的射线ρ（E,R,Hr）。
ρ（E,R,Hr）确定：设ρk（E,R,Hr）为在第k步时ρ（E,R,Hr）的一个近似值，并且让σk（E,R,Hr）为其对应的“页码”：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
如果ρk（E,R,Hr）的所有点除Iik外都是固定的，而Iik可以在相应的层位Hik上移动，那么对应于ρk（E,R,Hr）的旅行时可这样表示：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
在第（k+1）步上，如果考虑费马原理，可以移动位于Hik的点Iik到
，并且使T（Iik｜ρk）是最小的，这样得到一个更好的近似值ρk+1＝ρk+1（E,R,Hr）。由上一个近似值ρk（E,R,Hr）导出的射线ρk+1（E,R,Hr）有如下形式：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
上面表达式中
的性质将在下节中精确描述。
动态页码。对比文献（V.Peireyra,1988;J.L.Guiziou,A.Haas,1988）中提到的一般方法，这里提出的算法允许“页码”σk（E,R,Hr）从第k步到第（k+1）步时改变。这种“页码”的变化由下面的规则来控制：
规则1。层位
一般来说是相同于Hik的，除非
位于Hik的边界，对于最后一种情况建议在下面两种描述中选取其中之一：
（1）如果
是
与另一曲面H的一个连接点，则让
。换句话说，就是曲面
的改变。有赖于基于几何数据的GOCAD结构，可以很容易实现这一点。
（2）如果
不是
与另一曲面H的连接点，那么射线ρ（E,R,Hr）可能穿出了研究区域，这样模型的宽度不足以确定它。在这种情况下，必须放弃ρ（E,R,Hr）的考虑。
规则2。如果新的射线ρk+1（E,R,Hr）与并没有进入页码σk+1（E,R,Hr）的新的层位相交，则有必要在页码σk+1（E,R,Hr）中增加这些层位，并且在ρk+1（E,R,Hr）中增加相应的射线与模型的接触点。为了确定这些新的接触点和其对应的层位，需要测试Pk+1（E,R,Hr）中所有的线段Ii,k+1Ii+1,k+1与地质模型中所有层位的相交。这一操作是非常耗时的，这也是为什么GOCAD数据库允许使用基于八叉树（octree）技术快速算法的原因（J.L.Mallet,1990;Y.Huang 1990）。
规则3。可能发生这种情况，ρk+1（E,R,Hr）正切于属于页码σk+1（E,R,Hr）但不是Hr的层位
。此时，存在不同于E和R的两个射线与模型的接触点Iα，k+1和Iβ，k+1，并有：
地质模型计算机辅助设计原理与应用
在这种情况下，建议：
·从ρk+1中去掉Iα，k+1和Iβ，k+1，
·从σk+1中去掉Hα，k+1和Hβ，k+1
用单纯形方法寻找
:
对于与初始页码σ0（E,R,Hr）相联系的给定的一个初始近似射线路径ρ0（E,R,Hr），用一种迭代算法来确定射线路径ρ（E,R,Hr），ρ0（E,R,Hr）的*近值在算法的每一步k中，Iik在Iik上被移动到对应于T（Iik｜ρk）的最小值的点
上。这个最小值通过使用“单纯形”算法来确定，这种算法基于用来定义T-surface的Hik的初始三角形的平滑曲线插值。
应用实例。在图5.14中，给出了一个由上述方法获得的射线追踪的例子。可以看到地质情况是比较复杂的，特别是包括一个与给定地层相交的盐丘。为了获得较清晰的图像，在图中显示了较少的射线。
图5.14 使GOCAD产生的几何数据进行射线追踪的例子（Philippe Nobil等，1990）
可以看到盐丘切割了一个层面，层面位于盐丘内部的部分被移动
基于Bezier或样条插值的经典CAD软件的目标是交互地模拟较好的曲面，而不能生成符合地质应用中遇到的复杂数据的曲面。因此，基于这些方法的软件只能生成抽象的地质曲面，而不是与真实地质界面对应的曲面。与这些经典方法相反，在GOCAD项目开发的几何工具允许模拟极复杂的地质体并且可以同时有效地考虑所有的数据。另外，这样获得的模型可以方便的用于开发地球物理应用程序。本节给出的射线追踪算法并不要求使用超级计算机，它可以在工作站上运行，这要归功于GOCAD的几何数据库的结构。
