数学双曲线

发布网友发布时间：2022-05-12 00:36

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热心网友时间：2023-08-14 04:13

1.若点O和点F(-2，0)分别为双曲线x²/a²-y²=1(a>0)的中心和左焦点，P为双曲线右支上任意一点，求向量的数量积OP•FP的取值范围。
解：由题意可知c=2，故a²+1=4，即a²=3，于是·得双曲线方程为x²/3-y²=1.
设P(x，y)(x>0)为右支上任意一点，则OP=(x，±√(x²/3-1))；FP=(x+2，±√(x²/3-1))；
【OP和FP的纵坐标同取正或同取负】故：
故OP•FP=x(x+2)+x²/3-1=(4/3)x²+2x-1=(4/3)[x²+(3/2)x]-1=(4/3)[(x+3/4)²-9/16]-1
=(4/3)(x+3/4)²-3/4-1=(4/3)(x+3/4)²-7/4≧-7/4
即OP•FP∊(-7/4，+∞)
2.已知双曲线C：x²-y²=1；和直线L：y=kx-1；(1)。若L与C有两个不同的交点，求k的取值范围；
(2)。若L与C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为√2，求实数k的值。
解：(1)。将y=kx-1代入双曲线方程得x²-(kx-1)²-1=(1-k²)x²+2kx-2=0，因为有两个交点，故其判别式△=4k²+8(1-k²)=-4k²+8>0，k²<2，故-√2<k<√2；
(2)。设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；则x₁+x₂=2k/(k²-1)；x₁x₂=2/(k²-1)；
则∣AB∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(1+k²)[4k²/(k²-1)²-8/(k²-1)]}
△AOB的高h=原点O到直线kx-y-1=0的距离=∣-1∣/√(1+k²)=1/√(1+k²)
故S△AOB=(1/2)[1/√(1+k²)]√{(1+k²)[4k²/(k²-1)²-8/(k²-1)]}=(1/2)√[4k²/(k²-1)²-8/(k²-1)]=√2
即有4k²/(k²-1)²-8/(k²-1)=8；化简得k²(2k²-3)=0；故得k=0或k=±√(3/2)=±(1/2)√6.

热心网友时间：2023-08-14 04:13

其实你第二题也错了追问外
改了

追答哦，没错!我看成双曲线的一支