∫∫1/xdydz+1/ydzdx+1/zdxdy,其中,∑是球面x^2+y^2+z^2=r^2的
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发布时间：19小时前
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时间：17小时前
考虑球坐标换元：
x = R sinφ cosθ，x'φ = R cosφ cosθ，x'θ = - R sinφ sinθ
y = R sinφ sinθ，y'φ = R cosφ sinθ，y'θ = R sinφ cosθ
z = R cosφ，z'φ = - R sinφ，z'θ = 0
∂(y，z)/∂(φ，θ) = R² sin²φ cosθ
∂(z，x)/∂(φ，θ) = R² sin²φ sinθ
∂(x，y)/∂(φ，θ) = R² sinφ cosφ
0 ≤ φ ≤ π，0 ≤ θ ≤ 2π
1/x dydz = (R² sin²φ cosθ)/(R sinφ cosθ) = R sinφ
1/y dzdx = (R² sin²φ sinθ)/(R sinφ sinθ) = R sinφ
1/z dxdy = (R² sinφ cosφ)/(R cosφ) = R sinφ
∫∫_(Σ) 1/x dydz + 1/y dzdx + 1/z dxdy
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) 3R sinφ dφ
= (3R)(2π)(2)
= 12Rπ
