已知a,b是正有理数,√a,√b是无理数,证明:√a+√b必为无理数_百度...
发布网友
发布时间：7小时前
共3个回答
热心网友
时间：1小时前
下面开始：
只讨论数域，所以以下所谓“域”也仅指数域。
有理运算：
包括加，减，乘(包括正整数次乘方)，除(除数不为0)
数域：
就是关于有理运算封闭的数集。
扩域：
“定义：设E是域F的一个扩域，S是E的一个子集，则称E的所有包含F∪S的子域的交称为F添加S得到的扩域，记作F(S)。
当S是有限集{a1,a2,...,an}时，F(S)又可以记作F(a1,a2,...,an)，特别地F(a)称为F的单纯扩域。
定理$$：设E是域F的一个扩域，S1，S2是E的两个子集，则
F(S1∪S2)=F(S1)(S2)=F(S2)(S1)
这个定理告诉我们，我们可将添加有限集合{a1,a2,...,an}于域F归结为有限次单纯扩张，即：
F(a1,a2,...,an)=F(a1)(a2)...(an)”
以上引号里的内容全是书上原话，是对一般性的域(不仅是数域)来讲的，我觉得书上这个定义虽然有些抽象，但也有个明显的好处就是使我们意识到F(s)的“极小性”即“F(S)是包含域F和集合S的最小的域”
关于数域的扩张和扩域，为了便于理解，下面是一个较为顾名思义的解释：
设F是数域，将数a添加到F进行扩张，意思是说将a与F中的数放在一起进行有理运算(所得的结果之间还可以再与F中的数放在一起重复进行有理运算)不断得到新数。
所有可以通过扩张得到的数连同F本身构成一个数域E，称E为F的扩域，E又常记作F(a)。
说明：
1，一般地，将m个数a1,a2,....,am添到F所得的扩域记为F(a1,a2,....,am)
2，如果在F(a)中再添一个数b，得到的扩域为F(a)(b)，这样分步添加与一次性将两个数都添进去是等效的，即F(a)(b)=F(a,b)。
3，显然，如果添进去的数a属于F，则得到的扩域E等于F，若a不属于F，则得到的扩域E不等于F，进一步说是E>F。但无论如何有E>=F，即扩域总不比原域小。
代数元：
将各项系数皆出自数域F的多项式称为F上的多项式(将F上的多项式全体所组成的集合记为F[x])。
若a是F上某一非零多项式的根，则称a是F上的代数元。(否则称a是F上的超越元)。
说明：若a是F上的代数元，则称F(a)为F的单代数扩域。
极小多项式：
对于一个数a，称F上以a为根的，次数最低的，首项系数为1的非零多项式p(x)为a在F上的极小多项式，称P(x)的次数n为a在数域F上的次数。
说明：可以证明：“a是F上的代数元<=>a在F上存在极小多项式”，多项式f(x)的次数记作degf(x).
线性空间：
设F是一个数域，V是一个集合，在V上定义了一个加法“+”，即对V中任意两个元素A,B，总存在V中唯一的元素D与之对应，记为D=A+B,在数域F与V之间定义了一种运算，称为数乘，即对F中任一数a及V中任一元素A，在V中总有唯一的元素E与之对应，记为E=aA。若上述加法及数乘满足下列运算规则：
(1)加法交换律：A+B=B+A
(2)加法结合律：(A+B)+D=A+(B+D)
(3)在V中存在一个元素O，对于V中任一向量A,都有A+O=A
(4)对于V中每个元素A，存在元素B，使A+B=O
(5)1*A=A
(6)a(A+B)=aA+aB，a属于F
(7)(a+b)A=aA+bA，a,b属于F
(8)a(bA)=(ab)A
在上述规则中，A，B，D是V中任意的元素，a,b是F中任意的数。适合上述条件的集合V称为数域F上的线性空间或向量空间。
说明：看一个系统是不是线性空间，就按定义去验证就可以了。数域F的扩域E可以看作是数域F上的线性空间。
向量的线性关系(线性相关，线性无关，线性组合)：
线性相关和线性无关：
设V是数域F上的线性空间，a1,a2,...,am是V中m个向量，若存在F中m个不全为零的数k1,k2,...,km，使
k1a1+k2a2+...+kmam=0
则称a1,a2,...,am线性相关。
反之，若F中不存在不全为零的数k1,k2,...,km，使
k1a1+k2a2+...+kmam=0
则称a1,a2,...,am线性无关。
说明：
线性无关还可以这样等价地定义：
若存在F中m个数k1,k2,...,km，使
k1a1+k2a2+...+kmam=0成立
则必有k1=k2=...=km=0。
线性无关又称线性独立。
线性组合：
设V是F上的线性空间，a1,a2,...,am和b均是V中的向量，若存在F中m个数k1,k2,...,km，使
b=k1a1+k2a2+...+kmam
则称b是a1,a2,...,am的线性组合。
基和维数：
设V是数域F上的线性空间，如果在V中存在n个线性无关的向量e1,e2,...,en，使V中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称{e1,e2,...,en}是V的一组基，线性空间V称为n维线性空间，如果不存在有限个向量组成V的一组基，则称V是无限维线性空间。
说明：
1，一般来说，一个线性空间的基不是唯一确定的，但可以证明：不同的基中所含元素的个数必定是相等的。即给定了一个线性空间，则它的维数是确定的。
2，“:(((”在他的帖子里用V/F表示数域F上的线性空间V的维数，我下面也就沿袭这种写法。
3，注意，线性组合的系数一定是要从数域F里出
极大无关组：
设在线性空间V中存在一组向量a1,a2,...,an，适合如下条件：
(1)a1,a2,...,an线性无关
(2)在V中任意取出一个向量a加往入a1,a2,...,an，则a,a1,a2,...,an必线性相关。
那么称a,1,a2,...,an是V的极大线性无关组，简称极大无关组。
说明：
根据上面的定义，我们可以证明下面的定理@：
V中任意一个向量a均可表示为a1,a2,...,an的线性组合。
证：
据条件(2)知a,a1,a2,...,an线性相关，所以存在一组不全为0的数k,k1,k2,...,kn，使
ka+k1a1+...+knan=0 (#)
假设k=0,则上式变为k1a1+k2a2+...+knan=0，因为k,k1,k2,...,kn不全为0,又k=0，所以k1,k2,...,kn不全为0，所以a1,a2,...,an线性相关，这与条件(1)矛盾，所以k不等于0，于是(#)式可写为a=-k1a1/k-k2a2/k-...-knan/k，即a可表为a1,a2,...,an的线性组合，定理@证完。
到这儿，我们看到V的极大无关组a1,a2,...,an既满足线性无关，又可以表示V中任一元素，所以a1,a2,...,an是V的一组基。
以上主要是介绍概念，接下来要证明一些定理：
引理1：
设f(x),g(x)均为数域F上的多项式，g(x)不等于0，则必存在唯一的q(x),r(x)(均为数域F上的多项式)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，且degr(x)<degg(x).
设a为数域F上的代数元，a在F上的次数为n，则有以下引理2至引理4：
引理2：
n个量a^(n-1),...,a^2,a,1是数域F上的线性空间F[a]的一组基。
证：
分两步：
第一步：先证明a^(n-1),...,a^2,a,1线性无关：
若a^(n-1),...,a^2,a,1线性相关，则存在F中不全为零的n个数a(n-1),...,a1,a0，使
a(n-1)a^(n-1)+...+a1a+a0=0
即a是F上的n-1次多项式g(x)=a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0的根，所以a在F上的次数=<n-1，这与a在F上的次数为n矛盾。所以a^(n-1),...,a^2,a,1线性无关。
第二步：再证明数域F上的线性空间F[a]中的任一元素可以表示为a^(n-1),...,a^2,a,1的线性组合：
对任意f(x)∈F[x]，设p(x)为a在F上的极小多项式，degp(x)=n
因为(据引理1)可以写作f(x)=p(x)q(x)+r(x),其中r(x)=r(n-1)x^(n-1)+...+r1x+r0是F上的多项式。
于是有f(a)=p(a)q(a)+r(a)=r(a)，(因为p(a)=0)
即f(a)=r(n-1)a^(n-1)+...+r1x+r0，即f(a)可用a^(n-1),...,a^2,a,1的线性组合表示出。
综上两步，可得n个量a^(n-1),...,a^2,a,1是数域F上的线性空间F[a]的一组基。
引理3：
F[a]是域
证：
显然F[a]关于加，减，乘，都是封闭的，下面证明它关于除法(除数不为0)也是封闭的，即要证明对于任意h(a),k(a)∈F[a]且k(a)不等于0，都有h(a)/k(a)属于F[a]。
由引理2知F[a]是F上的n维线性空间，所以k(a)^n,...,k(a),1线性相关(因为n维线性空间中的n+1个元素必定线性相关)，即存在F中不全为零的an,...,a1,a0，使：
ank(a)^n+...+a1k(a)+a0=0
设ai是an,...,a1,a0中的一个非零元，则上式约去k(a)^i得
ank(a)^(n-i)+...+a(i+1)k(a)+ai=0
因为ai不等于0，所以有
k(a)(-ank(a)^(n-i-1)/ai-...-a(i+1)/ai)=1
令-ank(a)^(n-i-1)/ai-...-a(i+1)/ai=q(a)，显然q(a)属于F[a]，式子变为k(a)q(a)=1,于是h(a)/k(a)=h(a)q(a)，因为F[a]关于乘法封闭，所以h(a)q(a)属于F[a]，也就是h(a)/k(a)属于F[a]。所以F[a]关于除法(除数不为0)也封闭，所以F[a]是域。
引理4：
F[a]=F(a)
证：
由引理3知F[a]是域，又因为F∪a=<F[a]=<F(a)，而F(a)是包含F和a的最小的域，所以F[a]=F(a).
有了上面各引理，马上可得：
定理*：
设代数元a在数域F上的次数为n，则F(a)/F=n
证：由引理2知F[a]/F=n，又由引理4知F(a)=F[a]，所以F(a)/F=n。
定理$：
设E1，E2为数域F上的两个线性空间，若E1>=E2,则E1/F>=E2/F.
证：
设a1,a2,...,an为E2的一组基(即E2/F=n)，则a1,a2,...,an在F上线性无关(即不存在F中不全为0的n个数k1,k2,...,kn使k1a1+k2a2+...+knan=0)，因为E1>=E2，所以数域F上的线性空间E1中也有a1,a2,...,an这组元素，由于还是对数域F而言，所以a1,a2,...,an还是线性无的。既然在E1中已找到了含n个元素的线性无关组，所以E1的的极大无关组中元素的个数必然>=n，即E1/F>=n，所以E1/F>=E2/F。
下面解释“:(((”的推理：
令A=a1^(1/k1)，B=a2^(1/k2)，A和B在Q(Q表有理数域)上的极小多项式分别为f1和f2.
因为Q(A,B)是在Q(A)的基础上添加B得到的扩域，所以Q(A,B)>=Q(A),进而Q(A,B)/Q>=Q(A)/Q,即Q(A,B)/Q>=degf1
同理，因为Q(A,B)是在Q(B)的基础上添加A得到的扩域，所以Q(A,B)>=Q(B)，进而Q(A,B)/Q>=Q(B)/Q,即Q(A,B)/Q>=degf2
所以Q(A,B)/Q>=max{degf1,degf2} (1)
因为Q(A，B)=Q(A+B)(A),所以Q(A,B)/Q(A+B)=Q(A+B)(A)/Q(A+B)，根据定理*，有：Q(A+B)(A)/Q(A+B)=A在Q(A+B)上的次数，而A在Q(A+B)上的次数=<A在Q上的次数,也即degf1,(原因是：若设p(x)为A在Q上的极小多项式，次数为n，由于Q(A+B)>=Q，所以p(x)也是Q(A+B)上的多项式，此时，如果p(x)正好是A在Q(A+B)上的最小多项式，则A在Q(A+B)上的次数=n,若A在Q(A+B)上还有比p(x)次数还低的非零多项式g(x)(首项为1)使g(x)=0，则A在Q(A+B)上的次数<n)。综上得Q(A,B)/Q(A+B)=<degf1，同理可得Q(A,B)/Q(A+B)=<degf2.于是有：
Q(A,B)/Q(A+B)=<min{degf1,degf2} (2)
观(1)(2)知，只要degf1不等于degf2,则Q(A,B)/Q不等于Q(A,B)/Q(A+B)，进而我们可以证明Q(A+B)不等于Q：
假设Q(A+B)=Q,则必有Q(A,B)/Q=Q(A,B)/Q(A+B)，与Q(A,B)/Q不等于Q(A,B)/Q(A+B)矛盾。
所以Q(A+B)不等于Q，所以A+B不是Q中的数，即A+B为无理数。
我们看到了，“:(((”的证明也并不完全，其中必须假定degf1不等于degf2才行，也就是说，“:(((”证到的是以下结论：
如果a1^(1/k1)和a2^(1/k2)在Q上的次数不同，则a1^(1/k1)+a2^(1/k2)为一无理数。
热心网友
时间：1小时前
√a = r - √b
两边平方得
a = r^2 + b - 2r√b
整理等式得
√b = (r^2 + b - a) / 2r
由于 a, b, r 都是有理数, 那么 √b 也是个有理数, 与题设矛盾. 故 √a + √b 不是有理数.
热心网友
时间：1小时前
因为√a+√b=(a-b)/(√a-√b)
且a b为正有理数,√a √b是无理数
假设√a+√b为有理数,则√a-√b=√a+√b-2√b为无理数
则(√a+√b)(√a-√b)为无理数,与题意不符
则√a+√b为无理数
