泛函分析笔记(5):张恭庆泛函勘误

发布网友发布时间：1天前

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热心网友时间：2024-12-13 21:51

在学习张恭庆的泛函时，建议将范数定义1.4.9中的数域更正为或，避免在一般数域上讨论问题时产生的误解。接下来，我将逐一指出其中的错误并提供修正方案。

首先，勘误1涉及36页命题1.4.16的证明。该证明中的划线部分存在问题，因在范数定义中，数乘操作是在数域上进行的，而范数的陪域为，故划线部分不能保证元素，导致[公式] 不是良定义的。正确的做法是：选取使得，并记。这样，我们得到且，产生矛盾，从而证明了必要性。

接着，勘误2指出红线部分应为，并强调由于是数域上的元素，而不能保证属于，因此[公式] 不是良定义的。此外，蓝线部分错误在于对于一般的数域，不能保证上的单位球面是紧的。统一修正方法为将定义在上的连续延拓到上。由于且只是的二次扩张，因此必然有，从而解决了上述画线部分的问题。

最后，勘误3揭示了张恭庆在某些情况下可能默认将视为或。若不作此假设，结论将不成立，因为显然不完备。通过这些勘误和修正，我们能更准确地理解并应用泛函分析的理论。