...直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直_百度知 ...
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发布时间：12小时前
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时间：9小时前
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，
∴命题①正确；
对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=-1=0，
而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，
∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈(?π2，0)时x＜sinx，x∈(0，π2)时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得y′＝1cos2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈(?π2，0)时tanx＜x，x∈(0，π2)时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得y′＝1x，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′(x)＝1?1x，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，
命题⑤错误．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．
