证明函数f(x)=x^3+x^5的单调性

发布网友 发布时间：18小时前

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热心网友 时间：3小时前

终于搞出来了，按你高一的方法就只能用定义做
导数那东西已经不是高一范围了，高中后期才学的

首先由于该函数是奇函数，所以知道一半的单调性就知道另一半
令a>b>0
则f(a)-f(b)=a^3-b^3+a^5-b^5
以下分别证明(1)a^3-b^3>0和(2)a^5-b^5>0

(1)因为a>b，所以a^3>ba^2,则a^3-b^3>b(a^2-b^2)=b(a+b)(a-b)>0得证
(2)仿照（1）的证明，因为a^5>b*a^4,所以a^5-b^5>b(a^4-b^4)=b(a^2+b^2)(a^2-b^2)=b(a+b)(a-b)(a^2+b^2)>0 得证

两个大于零的式子加起来还是大于零
所以a>b>0时，f(a)-f(b)>0，f(x)单增
f(x)又是奇函数，所以x在R上单增

热心网友 时间：3小时前

假设x1,x2∈R,且x1<x2,那么

f(x1)-f(x2)=x1³-x2³+x1-x2

=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²+1)

当x1,x2同号时，显然有上式<0即f(x1)<f(x2)

当x1,x2异号时，x1²+x1x2+x2²+1=(x1+x2)²-x1x2+1>0，那么也有f(x1)<f(x2)

综上所述，f(x1)<f(x2),因此f(x)=x³+x在R上是增函数。

热心网友 时间：3小时前

X^3 为单调递增函数
x^5 为单调递增函数
增函数+增函数=增函数~
就这样

一般考试时不会出这种题的

热心网友 时间：3小时前

分给多了啊，太大方了也不好，这分留着也有好处的啊。
1，方法跟下面的一样
2，求导，（虽然你没学，但是让你提前知道一下求导的魅力，哈哈）
f(x)^=3x^2+5x^4>0所以单调递增，怎样，绝吧？多简单啊 ,没办法我网速太快了，本来上面那一位应该在我下面的，我来解释下的

热心网友 时间：3小时前

令x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1^3-x2^3)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+1)
=(x1-x2)[(x1+x2/2)^2+3x^2/4+1]
∵x1>x2,∴x1-x2>0
(x1+x2/2)^2+3x^2/4+1,两个平方再加上1，所以大于0
∴f(x1)-f(x2)>0
当x1>x2时f(x1)>f(x2)
所以是增函数