传统推荐算法(一)SVD推荐(1)解读奇异值分解

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奇异值分解（SVD）的核心概念是将一个矩阵映射成另一组正交基。让我们逐步解析这一过程及其几何与代数意义，以及如何通过特征值分解求解奇异值与奇异向量。

从几何变换到奇异值分解，我们可以观察到一个矩阵如何改变空间中一组正交基向量。以二维平面为例，矩阵M通过旋转和伸缩改变坐标轴，从而将一组正交基映射到另一组新的正交基。设映射后的向量Mv1为u1，Mv2为u2，那么u1和u2可以视为新的正交基，且它们的长度分别对应于奇异值σ1和σ2。这意味着奇异值表示了原始基向量在变换后的尺度，而奇异向量则是新的正交基。

代数角度理解奇异值与奇异向量，我们发现奇异值分解在本质上是将矩阵映射为一组正交基的过程。具体而言，通过寻找矩阵A将一组正交基映射为另一组正交基，我们得到了奇异值分解的公式。奇异值σi和奇异向量vi、ui分别对应于映射后基向量的长度和方向，以及原始基向量的方向。重要的是，奇异值非负，且它们与矩阵的秩相关。

特征值分解与奇异值分解之间的联系在于，它们都涉及矩阵的对角化过程。通过特征值分解，我们找到矩阵A的特征向量和特征值，而奇异值分解则通过寻找一组正交基映射来实现。在奇异值分解中，矩阵A通过U、Σ和V的乘积表示，其中Σ对角阵的对角元素即为奇异值σi。通过将特征值分解应用于对称矩阵，我们能够得到奇异值分解。

当讨论SVD分解的唯一性时，关键在于奇异值的顺序和正交矩阵的选取。虽然SVD分解本身不唯一，但通过按奇异值从大到小排列以及确保U和V的适当选择，SVD分解可以被唯一确定。此外，特征值分解与奇异值分解之间的关系在于，它们都揭示了矩阵的线性变换特性，但SVD分解更侧重于表示为一组正交基的映射。

几何角度理解奇异值，可以将矩阵乘法视作坐标系的旋转、缩放和旋转的组合。通过分析坐标变换的过程，我们可以直观地理解奇异值如何影响向量在不同坐标系中的表示。

最后，奇异值分解在主成分分析（PCA）中有着关键应用。通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，我们能够找到数据的主成分，进而实现数据的降维和可视化。利用SVD分解的特性，我们能够更高效地执行PCA，特别是在大规模数据集的处理中。