基础偏微分方程目录
发布网友
发布时间：2024-10-22 23:19
共1个回答
热心网友
时间：2024-10-22 23:38
§1.1 常微分方程回顾
本节将对常微分方程进行简要回顾，以便为接下来的学习打下基础。
§1.2 偏微概述
介绍偏微分方程的基本概念，包括偏导数和偏微分方程的分类。
§1.3 通解和基本技巧
探讨偏微分方程的通解形式，以及求解偏微分方程的基本技巧。
第二章 一阶偏微
§2.1 一阶线性偏微(常系数)
分析一阶线性偏微方程的特征和解法，特别关注常系数的情况。
§2.2 变系数
探讨一阶偏微方程在变系数情况下的解法，包括分离变量法和积分因子法。
§2.3 高维，拟线性，应用
讨论高维空间中的一阶偏微方程，以及拟线性方程的解法和实际应用。
§2.4 关于一般非线性偏微的补充(选修)
提供一些处理一般非线性偏微方程的高级技巧和方法，供选修学习。
第三章 热方程
§3.1 热方程推导及标准初边值问题的求解
热方程的数学推导，以及如何解决标准的初边值问题。
§3.2 唯一性和最大值原理
介绍热方程的唯一性以及最大值原理，对理解热传递过程至关重要。
§3.3 时间无关的边界条件
讨论在时间不依赖的条件下，如何设定和处理边界条件。
§3.4 依赖时间的边界条件和非齐次热方程的Duhamel原理
探讨依赖时间的边界条件，以及如何应用Duhamel原理解决非齐次热方程。
第四章 Fourier级数和Sturm.Liouville理论
§4.1 正交性和Fourier级数定义
引入Fourier级数的基本概念，以及正交性的角色。
§4.2 Four-ier级数收敛定理
探讨Fourier级数的收敛性，包括其在函数逼近中的应用。
§4.3 正弦级数和余弦级数及其应用
分析正弦级数和余弦级数的特点及其在实际问题中的应用。
§4.4 Sturm-Liouville理论
阐述Sturm-Liouville理论在偏微分方程中的重要性及其应用。
第五章 波方程
§5.1 波方程——推导和唯一性
波方程的数学推导以及解决唯一性问题的方法。
§5.2 波问题的D'Alembert解法
介绍D'Alembert解法在解决波问题中的应用。
§5.3 其他边界条件和非齐次波方程
探讨波方程在不同边界条件下的解法，以及非齐次波方程的处理。
第六章 Laplace方程
§6.1 概述
给出Laplace方程的基本介绍，包括其在物理学和工程学中的应用。
§6.2 矩形上的Dirichlet问题
讨论Laplace方程在矩形区域上Dirichlet问题的求解方法。
§6.3 圆环和圆盘上的Dirichlet问题
探究Laplace方程在圆环和圆盘区域上的Dirichlet问题，包括最大值原理和唯一性。
§6.4 Dirichlet问题的最大值原理和唯一性
介绍Dirichlet问题中的最大值原理和解的唯一性，以及其在Laplace方程中的应用。
§6.5 复变量理论及其应用
涉及复变量理论在解决Laplace方程中的应用，包括解析函数和复积分技术。
第七章 Fourier变换
§7.1 复Fourier级数.
探讨复Fourier级数的概念，以及其在偏微分方程解法中的应用。
§7.2 Fourier变换的基本性质
回顾Fourier变换的基本性质，包括线性、可加性和频率域的性质。
§7.3 反演定理和Parseval等式
分析Fourier变换的反演定理和Parseval等式，以及它们在物理应用中的重要性。
§7.4 偏微的Fourier变换方法
描述如何使用Fourier变换方法来求解偏微分方程，特别是周期性问题。
§7.5 在有限区间和半无限区间上问题的应用
讨论Fourier变换方法在有限区间和半无限区间上问题的应用，包括边界条件的处理。
第八章 高维情形的偏微
§8.1 高维的偏微——直角坐标
讨论高维空间中的偏微分方程，特别是直角坐标系中的形式和解法。
§8.2 特征函数观点
采用特征函数的观点来分析高维偏微分方程的解法和性质。
§8.3 球坐标的偏微
探讨在球坐标系中偏微分方程的解法，以及球面调和函数的应用。
§8.4 球面调和函数，Laplace级数及其应用
介绍球面调和函数的概念，以及它们在Laplace方程中的应用。
§8.5 特殊函数及其应用
涉及特殊函数在偏微分方程解法中的应用，如Bessel函数、Legendre多项式等。
§8.6 求解流形上的偏微
探讨在流形上偏微分方程的解法，包括拉普拉斯-Beltrami算子的应用。
附录1 分类定理
详细分类偏微分方程的类型，并给出解法的指导性原则。
附录2 Fubini定理
描述在积分计算中Fubini定理的应用，以及在求解偏微分方程中的意义。
附录3 Leibniz法则
介绍Leibniz法则在微分运算中的应用，及其在偏微分方程解法中的作用。
附录4 最大值最小值定理
分析最大值最小值定理在偏微分方程求解中的重要性，以及其在优化问题中的应用。
附录5 Fourier变换表
提供Fourier变换及其逆变换的常见表，便于快速查找和应用。
附录6 Bessel函数
给出Bessel函数的基本性质和应用，特别在偏微分方程解法中的重要性。
参考文献
列出在学习过程中参考的主要文献，提供进一步学习的资源。
部分答案
