(2014?保定一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=B...

发布网友发布时间：2024-10-22 21:49

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热心网友时间：2024-11-06 01:13

解答：（1）证明：AB侧面BB1C1C，BC1?侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，
在△BCC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=π3，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12-2BC?CC1?cos∠BCC1
=12+22-2×1×2×cosπ3=3，
∴BC1=3，…3 分
∴BC2+BC12=CC12，∴BC⊥BC1，
∵BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（5分）
（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，
以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则B(0，0，0)，A(0，1，0)，B1(-1，0，3)，C1(0，0，3)．…（7分）
∴CC1=(-1，0，3)，∴CE=(-λ，0，3λ)，∴E(1-λ，0，3λ)，
则AE=(1-λ，-1，3λ)，AB1=(-1，-1，3)．
设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，
则n?AE=0n?AB1=0，∴(1-λ)x-y+3λz=0-x-y+3z=0，
令z=3，则x=3-3λ2-λ，y=32-λ，∴n=(3-3λ2-λ，32-λ，3)．…（10分）
∵AB⊥侧面BB1C1