...则这个角是圆周角。(即圆周角定理的逆定理)
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发布时间：2024-10-22 20:45
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时间：2024-10-23 08:26
已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角．
求证：∠AOB=2∠ACB
证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．
当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC．
∵OC=OB，OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)
∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB；
当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC．
∵OC=OB，OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°
∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC
∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)
∵∠OCA+∠OCB =∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB ；
综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
