...+∞),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(_百度...

发布网友发布时间：2024-10-22 09:29

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热心网友时间：2024-11-17 05:57

（1）令x=y=1，得f（1）=0；令x＝2，y＝12，得f(12)＝?1（3分）
y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明：
任取0＜x1＜x2，则x2x1＞1，∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f(x2x1)＞0
在已知式中令x＝x1，y＝x2x1，得f(x2)?f(x1)＝f(x2x1)＞0，即证．（6分）
（2）当n≥2时，∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1
∴f（Sn）+1=f（an）+f（an+1），即f（2Sn）=f（an（an+1））（8分）
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴2Sn=an（an+1）∴2Sn+1=an+1（an+1+1）
两式相减得：2an+1＝a2n+1+an+1?a2n?an，
即（an+1+an）（an+1-an-1）=0
∵an＞0，∴an+1-an=1（11分）
∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列
∴an=n+2．（12分）