...是公比为q的等比数列(1)若an=3n+1,是否存在m,n∈N*,有am+am+1=ak...
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发布时间：2024-10-22 12:51
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时间：2024-11-06 17:15
整理后，可得k?2m＝43，∵m、k∈N，
∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N*，使等式成立．
（2）当m=1时，则b1?b2=bk，
∴a2?q3=aqk∴a=qk-3，即a=qc，其中c是大于等于-2的整数
反之当a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，则bn=qn+c，
显然bm?bm+1=qm+c?qm+1+c=q2m+1+2c=bk，其中k=2m+1+c
∴a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于-2的整数
（3）设bm+1+bm+2+…+bm+p=ak
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，
当p为偶数时，（*）式不成立．
由（*）式得3m+1(1?3p)1?3＝2k+1，
整理得3m+1（3p-1）=4k+2
当p=1时，符合题意．
当p≥3，p为奇数时，3p-1=（1+2）p-1
=Cp0+Cp1?21+Cp2?22++Cpp?2p-1
=Cp1?21+Cp2?22++Cpp?2p
=2（Cp1+Cp2?2++Cpp?2p-1）
=2[2（Cp2+Cp2?22++Cpp?2p-2）+p]
∴由3m+1（3p-1）=4k+2，得3m+1[2（Cp2+Cp2?22++Cpp?2p-2）+p]=2k+1
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．
∴当p为奇数时，命题都成立．
