测度论(四):测度延拓,外测度,Caratheodory 定理,Lebesgue 测度

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热心网友时间：2024-10-22 14:45

继续探索测度论的深入议题，我们首先关注测度的延拓。在已经介绍过的测度论基础知识（[1]集合系，[2]连续映射与可测映射，[3]集合映射和测度概念）之后，本章核心内容是研究已给测度在包含原集合系的[公式]代数上的扩展。我们从一个引人注目的定理开始，即测度的唯一延拓定理，它揭示了测度在特定代数上的唯一性条件。

为了准备证明这个延拓定理，我们引入了外测度的概念。外测度为理解测度的扩展提供了关键视角，它表明对于每个外测度，总能找到一个特定的[公式]代数，其上的外测度*实际上是一个测度。这个理论的基石是Caratheodory定理，它强调了在半环上的[公式]有限测度如何唯一且存在地扩展到由其生成的[公式]代数上。

延拓定理的重要性在于它带来的实用工具，如近似定理，它在欧几里得空间中Borel [公式]代数的Lebesgue测度中发挥着关键作用。这一章不仅深化了对测度理论的理解，也为后续研究奠定了坚实的数学基础。