...四个点,∠APC=∠CPB=60°,过点a做⊙O切线交bp延长线于d
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发布时间：2024-10-22 03:15
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时间：2024-11-11 05:05
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；
（2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=CB，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴（比例式），
∵AD=2，PD=1，
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD-DP=3，
∵∠APD=180°-∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴∠PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴（比例式），
∴AP2=CP•PD，
∴AP2=（3+AP）•1，
解得：AP=或AP=（舍去），
∴BC=AB=2AP=1+．
解析：
（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）利用△ADP∽△BDA，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则=，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．
