已知椭圆M:: x 2 a 2 + y 2 3 =1(a>0)的一个焦点为F(-1,0
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发布时间：2024-10-22 19:19
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时间：2024-10-22 22:38
所以a 2 =4，所以椭圆方程为 x 2 4 + y 2 3 =1；
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到
x 2 4 + y 2 3 =1 y=x+1 ，消掉y，得到7x 2 +8x-8=0，
所以△=288，x 1 +x 2 = - 8 7 ，x 1 x 2 =- 8 7 ，
所以|CD|= 1+ k 2 |x 1 -x 2 |= 2 × ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 24 7 ；
（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，
此时D（-1， 3 2 ），C（-1，- 3 2 ），△ABD，△ABC面积相等，|S 1 -S 2 |=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ），
和椭圆方程联立得到 x 2 4 + y 2 3 =1 y=k(x+1) ，消掉y得（3+4k 2 ）x 2 +8k 2 x+4k 2 -12=0，
显然△＞0，方程有根，且x 1 +x 2 =- 8 k 2 3+4 k 2 ，x 1 x 2 = 4 k 2 -12 3+4 k 2 ，
此时|S 1 -S 2 |=2||y 1 |-|y 2 ||=2|y 1 +y 2 |=2|k（x 2 +1）+k（x 1 +1）|
=2|k（x 2 +x 1 ）+2k|= 12|k| 3+4 k 2 = 12 3 |k| +4|k| ≤ 12 2 3 |k| ×4|k| = 12 2 12 = 3 ，（k= ± 3 2 时等号成立）
所以|S 1 -S 2 |的最大值为 3 ．
