求函数f(x)=1/3x^3-x^2-3x+1.求f(x)的单调区间和极值

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热心网友时间：2024-12-04 12:12

函数f(x)=1/3x^3-x^2-3x+1的导数为f'(x)=x²-2x-3，可以分解为（x+1）（x-3）。由此可以确定函数的增减区间。

当f'(x)>0，即x²-2x-3>0时，解得x>3或x<-1。因此，函数的增区间为（-∞，-1）∪（3，+∞）。

当f'(x)<0，即x²-2x-3<0时，解得-1<x<3。因此，函数的减区间为（-1,3）。

当f'(x)=0，即x²-2x-3=0时，解得x1=-1，x2=3。通过判断得知，在x=-1左侧增，右侧减，故x=-1处取极大值，其值为f(-1)=-1/3-1+3+1=8/3。在x=3左侧减，右侧增，故x=3处取极小值，其值为f(3)=9-9-9+1=-8。

综上所述，函数f(x)=1/3x^3-x^2-3x+1的增区间为（-∞，-1）∪（3，+∞），减区间为（-1,3），极大值为8/3，极小值为-8。