在三角形ABC中,向量AB·向量AC=向量BA·BC。 (1) 求证 tanB=3tanA...
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发布时间：2024-10-24 00:20
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时间：2024-10-27 07:04
若AB*AC=BA*BC，
则|c|*|b|*cosA=|c|*|a|*cosB
∴|b|*cosA=|a|*cosB
∴|a|/|b|=cosA/cosB
又∵sinA/|a|=sinB/|b| （正弦定理）
∴|a|/|b|=sinA/sinB
∴cosA/cosB=sinA/sinB
∴cosAsinB=sinAcosB
∴sinAcosB-cosAsinB-=0
∴sin(A-B)=0
解得：A=B 、A+B=pi（根据三角形中两角和小于180度排除）
∴A=B，自然，tanB=3tanA 是根本无法成立的！
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cosC=sqrt5 /5
sinC=2sqrt5 /5
sin(A+B)=sin(pi-A-B)=sinC=2sqrt5 /5
∵A=B
∴sin2A=2sqrt5 /5
2sinAcosA=2sqrt5 /5
sinAcosA=sqrt5 /5
sin²Acos²A=1/5
sin²A(1-sin²A)=1/5
令x=sin²A
则x²-x+1/5=0
解得：
x1=1/2 + sqrt5 /10
x2=1/2 - sqrt5 /10
sinA=sqrt(x1) 或 sqrt(x2)
太复杂了，不想解了。
其实也可以根据cosC=sqrt5 /5 查表或计算器得出C角的大小，
再根据A=B=(180-C)/2计算A角大小。
计算器计算的结果：A=58.282525588538994675786096860227度
