数学建模常用算法——传染病模型(三)SIR模型
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发布时间：2024-10-24 11:14
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时间：2024-10-30 13:00
“S”代表易感者，指的是缺乏免疫能力的健康人，与感染者接触后容易受到感染；
“E”代表暴露者，指接触过感染者但暂无传染性的人，适用于存在潜伏期的传染病；
“I”代表患病者，指有传染性的病人，可以传播给S，将其变为E或I；
“R”代表康复者，指病愈后具有免疫力的人，对于终身免疫性传染病，康复者不可被重新变为S、E或I；在免疫期有限的传染病中，康复者可能重新变为S类，从而再次被感染。
SIR模型适用于有易感者、患病者和康复者三类人群的传染病，如水痘，康复者具有很强的免疫力，不会再次感染。对于致死性传染病，死亡的病人也可以归类为康复者，理解为退出了传染系统。
模型假设如下：
- 易感者与患病者有效接触即被感染，变为患病者，可以被治愈变为康复者，无潜伏期，有终身免疫力。
- 以一天作为模型的最小时间单位。
- 总人数为N，不考虑人口的出生与死亡、迁入与迁出，此总人数不变。
- t时刻各类人群占总人数的比率分别记为s(t)、i(t)、r(t)，各类人群的数量为S(t)、I(t)、R(t)。
- 初始时刻t=0时，各类人数量所占初始比率为s0、i0、r0。
- 日接触数λ，即每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数。
- 日治愈率μ，即每天被治愈的患病者人数占病人总数的比率。
- 平均治愈天数为1/μ，即从患病到治愈的天数。
- 传染期接触数σ=λ/μ，即每个患病者在整个传染期1/μ天内，有效接触的易感者人数。
- 根据模型假设：
每个病人每天可使λ*s(t)个易感者变为患病者，患病者人数为N*i(t)，所以每天有λ*s(t)*N*i(t)个易感者被感染，即每天新增的患病者数。每天的患病人数N*i(t)中，又有μ*N*i(t)被治愈成为康复者。
由此可以得到微分方程：
N*ds(t)/dt=-λ*s(t)*N*i(t)
N*di(t)/dt=λ*s(t)*N*i(t)-μ*N*i(t)
N*dr(t)/dt=μ*N*i(t)
简化后得：
ds(t)/dt=-λ*s(t)*i(t)
di(t)/dt=λ*s(t)*i(t)-μ*i(t)
dr(t)/dt=μ*i(t)
s(0)=s0
i(0)=i0
r(0)=0
因为s(t)+i(t)+r(t)=1，且观察上式可得：
dr(t)/dt=-(ds(t)/dt+di(t)/dt)
去除恒等式dr(t)/dt=-(ds(t)/dt+di(t)/dt)=μ*i(t)，模型简化为：
ds(t)/dt=-λ*s(t)*i(t)
di(t)/dt=λ*s(t)*i(t)-μ*i(t)
s(0)=s0
i(0)=i0
此模型无解析解，给定λ、μ、s0、i0可求数值解。
随着时间推移，易感者数s(t)开始单调递减，患病者数比率i(t)先达到峰值，随后一直回落，直到减为零，康复者数单调递增。
若σ>1，则最终全部为康复者。
若σ≤1，则会剩余一部分易感者，而疾病波及到的总人数为t趋于无穷大时的康复者人数R(t)。
