5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)

发布网友发布时间：2024-11-05 14:38

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热心网友时间：2024-11-05 15:24

dx/dy=(x-y)/y=x/y-1
令x/y=u，则dx/dy=u+ydu/dy
所以u+ydu/dy=u-1
ydu/dy=-1
du=-dy/y
两边积分：u=-ln|y|+C
x=-yln|y|+Cy

热心网友时间：2024-11-05 15:26

求微分方程dy/dx=y/(x-y)的通解
解：ydx-(x-y)dy=0
即有ydx+(y-x)dy=0............(1)
P=y，Q=y-x；因为∂P/∂y=1，∂Q/∂x=-1，故∂P/∂y≠∂Q∂x，所以不是全微分方程。
先求积分因子：
G(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1+1)=2/y；
故得积分因子μ=e^∫(-2/y)dy=e^(-2lny)=e^(lny⁻²)=1/y²；
用此积分因子乘方程(1)的两边得：
(1/y)dx+[(y-x)/y²]dy=0
这是一个全微分方程，即有：d[(x/y)+ln∣y∣]=0
故得通解为(x/y)+ln∣y∣=C.

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