怎么用刘维尔定理证明一个积分不可积

发布网友发布时间：2024-10-24 18:08

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热心网友时间：2024-10-25 00:11

用刘维尔定理证明一个积分不可积往往比较困难。用刘维尔第三、第四定理可以证明∫e^(kx²)dx（k≠0）、∫e^(kx)/x dx（k≠0）、∫sinx/xdx、∫cosx/xdx、∫sin（x²）dx、∫cos（x²）dx等积分无法表示为初等函数。

追问有限平面上无极点什么意思？为什么刘维尔第三定理也跟正弦余弦有关

追答极点这个概念是复变函数中的，对此我不是很了解。事实上也可以不使用极点来判断，可以证明R（x）一定是一个多项式，然后如图片上所说，这是不可能的，从而∫e^(kx²)dx（k≠0）无法表示为初等函数。由欧拉公式，sinx=（e^ix-e^(-ix)）/2i，cosx=（e^ix+e^(-ix)）/2，所以∫sinx/xdx、∫cosx/xdx、∫sin（x²）dx、∫cos（x²）dx等积分也可以用刘维尔定理（第四定理）判别。