如何证明Bernoulli不等式
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发布时间：2022-05-07 15:40
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热心网友
时间：2022-06-30 14:14
如果用数学归纳法(n是不小于2的整数)
设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.
证明:
用数学归纳法:
当n=1,上个式子成立,
设对n-1,有:
(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
则
(1+x)^n
=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
>=1+nx
就是对一切的自然数,当
x>=-1,有
(1+x)^n>=1+nx
但n可以推广到实数幂形式:
(证明如下)
这道题主要是利用求导判断单调性.
解答如下:
令函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求导得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
讨论:
(1)当r>1时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)>0
因此f(x)在R上是单调递增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!!
(2)当r<0时,当-1<x<0时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)<0
因此f(x)在(-1,0)上是单调递减.
当r<0时,当x>0时,(1+x)^(r-1)<1,则f'(x)>0
因此f(x)在(0,正无穷大)上是单调递增.
这样在r<0,x>=-1且x不等于0时,f(x)最小值为f(0)=0
因此在r<0,x>=-1且x不等于0时,f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.
综上所述:(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等于0成立。
热心网友
时间：2022-06-30 14:14
(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等于0成立。
证明方法不只一种吧，有用函数单调性的证明：
令函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求导得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
讨论:
(1)当r>1时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)>0
因此f(x)在R上是单调递增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!!
(2)当r<0时,当-1<x<0时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)<0
因此f(x)在(-1,0)上是单调递减.
当r<0时,当x>0时,(1+x)^(r-1)<1,则f'(x)>0
因此f(x)在(0,正无穷大)上是单调递增.
这样在r<0,x>=-1且x不等于0时,f(x)最小值为f(0)=0
因此在r<0,x>=-1且x不等于0时,f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.
综上所述:(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等于0成立。
