伯努利不等式证明过程

发布网友发布时间：2022-05-07 15:40

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热心网友时间：2022-06-30 14:14

设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.
证明:
先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：
当n=1,上个式子成立,
设对n-1,有:
(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
则
(1+x)^n
=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2
>=1+nx
就是对一切的自然数,当
x>=-1,有
(1+x)^n>=1+nx
下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：
若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx
若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx
这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：
如果r=0，1，则结论是显然的
如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;
下面分情况讨论：
1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。严格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。
2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx

热心网友时间：2022-06-30 14:14

热心网友时间：2022-06-30 14:15

嗯男女老少邋目前有

热心网友时间：2022-06-30 14:15

我有

热心网友时间：2022-06-30 14:16

牛人