伯努利不等式的应用
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发布时间：2022-05-07 15:40
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时间：2022-06-30 14:14
(1+x)^n \ge 1+nx；
如果n \ge 0是偶数，则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n \ge 2和任意实数x \ge -1，x \ne 0，有严格不等式：
(1+x)^n > 1+nx\,。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑] 证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数x \ge -1时成立，那么
(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx)
= 1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x。
下面是推广到实数幂的版本：如果x > − 1，那么：
若r \le 0或r \ge 1，有(1+x)^r \ge 1 + rx；
若0 \le r \le 1，有(1+x)^r \le 1 + rx。
这不等式可以用导数比较来证明：
当r = 0,1时，等式显然成立。
在(-1,\infty)上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中r \ne 0,1， 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：
1. 0 < r < 1，则对x > 0，f'(x) < 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得(1+x)^r \leq 1+rx。
2. r < 0或r > 1，则对x > 0，f'(x) > 0；对 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0，故得(1+x)^r \geq 1+rx。
在这两种情况，等号成立当且仅当x = 0。
[编辑] 相关不等式
下述不等式从另一边估计(1 + x)r：对任意x, r > 0，都有
(1+x)^r < e^{rx}\,。
