【学霸干货总结】有关图论在数模中的应用总结!
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发布时间：2024-10-17 20:40
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时间：2024-11-09 15:22
图论是数学的一个分支，研究对象是图。图由顶点和边组成，直观表示对象及其特定关系。定义中的顶点位置、边的形态等无特定要求，只要两个顶点间不能通过第三个顶点或自身相交即可。
同构是图论中的一个重要概念，若两个图的顶点间存在一一对应关系，且边的数量对应相等，则认为这两个图是同构的。顶点与边的关系也需明确，相邻意味着顶点间有边相连，关联则指顶点与边有直接联系。
图中可能存在环和平行边，环是顶点间重复的边，平行边则为连接同一对顶点的多条边。简单图无环、无平行边，完全图中每两个顶点间均有边相连，用Kn表示n个顶点的完全图，其边数为n(n-1)/2。
度是图中顶点关联边数的衡量，顶点v的度记为d(v)，δ(G)和Δ(G)分别表示图G中顶点的最小度和最大度。握手定理指出图中所有顶点度之和为边数的两倍。
树是连通且无圈的简单图，森林则是由多个不交树组成的图。树有悬挂点，度为1的顶点称为悬挂点。定理表明树的顶点数大于等于2时，至少有两个悬挂点。
欧拉问题源于七桥游戏，讨论旅行者仅通过每座桥一次的可行性。一笔画定理指出，有限图是一条链或圈的条件是图连通且奇顶点数为0或2，奇顶点数为0时，图为圈。
哈密顿问题涉及经过图上各顶点一次的链或圈，称为哈密顿链或圈。定理表明，当连通图有2k个奇顶点时，可用k笔画成，且至少需k笔。
平面图在二维平面上表示，边仅在端点相交。欧拉定理表明连通平面图中顶点、边、面数量的关系。平面图的边数不超过3v-6，其中v是顶点数。
拉姆赛问题与图的染色、拉姆赛数等关联。证明任意六个人中总存在三个互相认识或三个互相不认识的人。通过构造图和染色，证明存在同色三角形。对于Kn图，当n≥6时，总会存在同色三角形。
以上是图论在数学中的经典理论总结，下篇将围绕数模中的典型模型进行介绍，希望对读者有所帮助。
