...*,fw(1)=1,且fmax(x)=fv(x)+xfne(x).(1)求fn(x)的

发布网友发布时间：2024-10-17 15:06

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（1）解：∵fn′(x)＝fn?1(x)+xfn?1′(x)，∴fn′(x)＝[xfn?1(x)]′，∴fn（x）=xfn-1（x）+a
∵任意的n∈N*，fw（1）=1，∴a=0，∴fn（x）=xfn-1（x）
∵f1（x）=x（x≠0），∴fn(x)＝xfn?1(x)＝x?xn?1＝xn
（2）证明：Fn（x）=fn(x)(fn(x)+1)2=xn(xn+1)2
∴Fn（2）=2n(2n+1)2=2×2n?1(2n+1)(2n+1)＜2×2n?1(2n+1+1)(2n+1)=2（12n+1+1-12n+1）
∴F1（2）+F2（2）+…Fn（2）=2（12-12n+1）＜1
（3）解：gn（x）=Cn0+2Cn1f1（x）+3Cn2f2（x）+…+（n+1）Cnxfn（x）=Cn0+2xCn1+3x2Cn2+…+（n+1）xnCnx
=[x（1+x）n]′=（1+x）n+nx（1+x）n-1=[（n+1）x+1]（1+x）n-1，
设Sn（x）=g1（x）+g2（x）+…+gn（x）=（2x+1）+（3x+1）（1+x）+…+[（n+1）x+1]（1+x）n-1，①
∴（1+x）Sn（x）=（2x+1）（1+x）+（3x+1）（1+x）2+…+[（n+1）x+1]（1+x）n，②
①-②化简可得：-xSn（x）=x-（n+1）x（1+x）n，
∴Sn（x）=（n+1）（1+x）n-1
∴不存在实数x，使得g1（x）+g2（x）+…gn（x）=（n+1）（1+x）n．

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