...△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),抛物线 的图象过C...
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发布时间：2024-10-16 18:19
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时间：2024-10-16 21:03
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD。
∵在△AOB与△CDA中， ，
∴△AOB≌△CDA（ASA）。
∴CD=OA=1，AD=OB=2。
∴OD=OA+AD=3。
∴C（3，1）。
∵点C（3，1）在抛物线 上，
∴ ，解得： 。
∴抛物线的解析式为： 。
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB= 。
∴S △ ABC = AB 2 = 。
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴ ，解得 。
∴直线BC的解析式为 。
同理求得直线AC的解析式为： 。
如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，
则 。
在△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S △ CEF = S △ ABC ，即： EF?h= S △ ABC 。
∴ ，整理得：（3﹣x） 2 =3。
解得x=3﹣ 或x=3+ （不合题意，舍去）。
∴当直线l解析式为x=3﹣ 时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分。
（3）存在。如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1。
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形。
过点P作PH⊥x轴于点H，
则易证△PAH≌△BCG。
∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2。
∴P（﹣2，1）。
∵抛物线解析式为： ，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上。
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．。
（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S △ CEF = S △ ABC ，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出?PACB，然后证明点P在抛物线上即可。
