微分方程的通解有哪些公式

发布网友发布时间：2024-10-16 15:34

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热心网友时间：2024-10-18 07:31

微分方程的通解公式依据方程的类型而异。对于一阶线性微分方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$，其中C为常数。对于二阶常系数线性微分方程 $ay'' + by' + cy = 0$，其特征方程为 $\lambda^2 + b\lambda + c = 0$，根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 的值，通解可能为 $y = e^{\lambda_1 x}(C_1 + C_2x)$（当$\Delta 0$，$\lambda_1, \lambda_2$为共轭复数时），$y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x}$（当$\Delta > 0$，$\lambda_1 \neq \lambda_2$时），或 $y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x}$（当$\Delta = 0$，$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$时）。对于非齐次方程，还需加上特解部分。这些公式展示了不同类型微分方程求解的基本框架。