帮忙看下这个式子极限怎么求
发布网友
发布时间：2024-10-16 17:38
共5个回答
热心网友
时间：2024-12-14 12:00
因为高数里有一个重要极限:
lim (1+1/x)^x =e
n->∞
注意:e是常数,值大概为2点多.
关于这个式子的证明,百度知道里有:
http://zhidao.baidu.com/question/9628927.html?si=7
高数课本上一般都有证明,只需要用它的结论
把题目的式子化成重要极限类似的式子:
解法(一)
设 [(2x-3)/(2x+1)]^(x+1)=H
再设y=1/H,得:
当n->∞
lim y =lim(1/H)=lim1/limH=1/limH
现在只需求limH
H=[(2x+1)/(2X-3)]^(X+1)
=[(2x-3+4)/(2x-3)]^(x+1)
=[1+4/(2x-3)]^(x+1)
=[1+1/(x/2-3/4)]^[2*(x/2+1/2)]
=[1+1/(x/2-3/4)]^[2*(x/2-3/4+3/4+1/2)]
=[1+1/(x/2-3/4)]^[2*(x/2-3/4)+5/2]
={[1+1/(x/2-3/4)]^(x/2-3/4)}^2×[1+1/(x/2- 3/4)]^(5/2)
当x-∞时,求上式极限,可看到,乘号后在的式子极限为1,所以limH就可以化为:
limH
=lim{[1+1/(x/2-3/4)]^(x/2-3/4)}^2
={lim[1+1/(x/2-3/4)]^(x/2-3/4)}^2
重要极限lim (1+1/x)^x =e里的x在这里化成了(x/2-3/4), 如果用一个字母t去换位,
即设t=(x/2-3/4)
则:limH={lim(1+1/t)^t}^2
当x->∞, t->∞,
limH=e^2
limy=1/limH=1/e^2=e^(-2)
解法(二)
因为,由重要极限lim (1+1/x)^x =e(x->∞)
可得到一个推论lim(1-1/x)^x=1/e(x->∞)
证明过程:
设x=t+1
(1-1/x)^x
=[1-1/(t+1)]^(t+1)
=[(t+1-1)/(t+1)]^(t+1)
=[t/(t+1)]^(t+1)
=[1/(1+1/t)]^(t+1)
=[1/(1+1/t)]^t×[1/(1+1/t)]
lim(1-1/x)^x
=lim{[1/(1+1/t)]^t×[1/(1+1/t)]}
=lim[1/(1+1/t)]^t]×lim[1/(1+1/t)]
=lim1/lim(1+1/t)^t×lim[1/(1+1/t)]
当n->∞,t=x-1也趋向∞
上式=1/e×1=1/e
然后把原式化成(1-1/x)^x的形式:
[(2x-3)/(2x+1)]^(x+1)
=[(2x+1-4)/(2x+1)]^(x+1)
=[1-4/(2x+1)]^(x+1)
=[1-1/(x/2+1/4)]^[2*(x/2+1/4+1/4)]
= [1-1/(x/2+1/4)]^[ 2*(x/2+1/4) + 1/4 ]
=[1-1/(x/2+1/4)]^[2*(x/2+1/4)]×[1-1/(x/2+1/4)]^(1/4)
上式的取极限可得,乘号后的式子极限为1,前面的极限为1/e^2
所以最后结果为1/e^2
终于把错误改过来了,一起学习吧
热心网友
时间：2024-12-14 12:01
所以lim(x→∞)[(2x-3)/(2x+1)]^(x+1)
=lim(x→∞)[1-4/(2x+1)]^(x+1)
=[1+1/(-x/2-1/4)]^[(-x/2-1/4)*(-2)+1/2]
令t=-x/2-1/4 (x→∞时t→∞)
得:{[(1+1/t)^t]^(-2)}*[(1+1/t)^(1/2)]
当x→∞时,t→∞
所以[(1+1/t)^(1/2)]=1
所以结果=[(1+1/t)^t]^(-2)
计算[(1+1/t)^t]有公式 lim(x→∞) (1+1/x)^x = e
所以结果=e^(-2)
热心网友
时间：2024-12-14 12:01
所以lim(x→∞)[(2x-3)/(2x+1)]^(x+1)
=lim(x→∞)[1-4/(2x+1)]^(x+1)
=[1-1/(x/2+1/4)]^[(x/2+1/4)*2+1/2]
令t=x/2+1/4
得:{[(1-1/t)^t]^2}*[(1-1/t)^(1/2)]
当x→∞时,t→∞
所以[(1-1/t)^(1/2)]=1
所以原式=[(1-1/t)^t]^2
平方前面有公式
解决~!
热心网友
时间：2024-12-14 12:02
lny=(x+1)ln [(2x-3)/(2x+1)]
另x+1=1/t，则x→∞即t→0
2x-3=2(x+1)-5=2/t-5
2x+1=2(x+1)-1=2/t-1
所以lim(x→∞)lny=lim(t→0)ln[(2/t-5)/2/t-1)]/t
=lim(t→0)ln[(2-5t)/(2-t)]/t
由洛必达法则
lim(t→0)ln[(2-5t)/(2-t)]/t=-8lim(t→0)1/[(2-5t)(2-t)]
=-8/4=-2
所以原极限=e^(-2)
热心网友
时间：2024-12-14 12:02
所以lim(x→∞) [(2x-3)/(2x+1)]^(x+1)趋向于1
