...•g=IA (此处A为下角标),证明:f是单射,g是满射

发布网友发布时间：2024-10-16 19:10

共3个回答

热心网友时间：2024-11-04 07:49

题目应该是：
设有两个映射f:A→B, g:B→A. 若g*f=IA , 则f是单射，g是满射.

证明

(1)证明映射f是单射.
对任意的b∈B，如果存在a1，a2∈A（a1！=a2），使g(a1)=b，g(a2)=b，即g(a1)=b= g(a2).
因为 a1=IA(a1)=(g*f)(a1)= f(g(a1)) = f(g(a2)) =(g*f)(a2) =IA(a2)= a2 .
所以f是单射的.

(2)证明映射g是满射.
因为(g*f)(A)=IA(A)= A，所以g*f是满射的.
又对任意的c∈A，由g*f是满射的可知，存在a∈A，使(g*f)(a)=c.
那么存在b∈B，使f(a) = b，g(b) = c.
所以存在b∈B，使g(b) = c，
所以g是满射的.

热心网友时间：2024-11-04 07:45

首先题目有点问题，应该是f*g=IB;需要证明f为满射，g为单射。
证明：
（1）证g给单射：
任意a!=b,a,b属于B,f(g(a))=a,f(g(b))=b,故g(a)!=g(b),故g为单射。
（2）证f为满射：
任意b属于B，f(g(b))=b,即存在a＝g(b),使得f(a)=b,故f为满射。
证毕。

热心网友时间：2024-11-04 07:45

写起来太麻烦，我简要写写步骤吧

首先你得f*g=IA的意思就是说f(g(A))=A,A中的所有元素经过f(g())后又构成了集合A

f是单射的意思是：如果a不等于b,则f(a)不等于f(b)

g是满射的意思是：任何一个y,都存在x,使得g(x)=y

运用反证法就得出来了