无穷小量是一个函数吗?
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发布时间：2024-10-17 04:51
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时间：2024-11-05 23:08
确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限减小）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量。无穷小量通常用小写希腊字母表示，如α、β、ε等。
相关定义
设f在某x0的空心邻域有定义。
对于任给的正数 （无论它多么小），总存在正数（或正数）使得不等式（或）的一切对应的函数值都满足不等式，则称函数为当（或）时的无穷小量。记做：（或）。
注意：
1.无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2.零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3.无穷小量与自变量的趋势相关。
若函数在某的空心邻域内有界，则称g为当时的有界量。
例如，都是当时的无穷小量，是当时的无穷小量，而为时的有界量，是当时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。
由无穷小量的定义可以推出以下性质：
1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
无穷大
有了无穷小量的概念，自然会联想到无穷大的概念，什么是无穷大呢？
当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称为当时的无穷大。记作。
同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。
阶的比较
前提条件
无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
首先规定都为时的无穷小，在某的空心邻域恒不为0。
高低阶无穷小量
，则称当时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。
同阶无穷小量
当（c≠0）时，?和ɡ为时的同阶无穷小量。
当x→0时的同阶无穷小量：
等价无穷小量
，则称?和ɡ是当 时的等价无穷小量，
等价无穷小量应用最广泛，常见的有当x→0时，
