工科线代中实对称矩阵,反对称矩阵和正定矩阵相关考题
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发布时间：2024-10-17 16:42
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时间：2024-11-23 20:46
若矩阵[公式] 与矩阵 [公式] 相似
仅对第3条进行证明
[公式]
实对称矩阵，反实对称矩阵和正定矩阵实对称矩阵
1.[公式] 阶实对称矩阵有 [公式] 个实特征值（以下证明中 [公式] 代表 [公式] 的各元素模长的平方和）
设[公式] 为 [公式] 属于 [公式] 的特征向量
[公式]
[公式]
[公式] ，可知 [公式] 为实数
2.若[公式] 为对称矩阵，则 [公式] 也为对称矩阵
反对称矩阵
1.[公式] 是 [公式] 阶反对称矩阵当且仅当对任意 [公式] 维向量都有 [公式]
证明：
设A为反对称矩阵，由于[公式] 是一个数，可知 [公式]
则[公式]
易知[公式]
反之，若已知对任意[公式] 都有 [公式] ，记 [公式]
取[公式] （第 [公式] 个数为 [公式] ，其余为 [公式] ）
则有[公式]
可知对角线上的元素均为0
取[公式]
则[公式] ，可知 [公式]
从而[公式] 为反对称矩阵。证毕。
2.（2019春夏）[公式] 是反对称矩阵当且仅当 [公式]
显然，[公式]
当[公式] ，即 [公式]
记[公式]
[公式]
可知[公式] ，则 [公式] 为反对称矩阵。
3.实反对称矩阵特征值为0或是纯虚数
设[公式] 为实反对称矩阵， [公式] 为 [公式] 的属于 [公式] 的特征向量
[公式]
[公式]
可知[公式] ，得证。
4.反对称矩阵的行列式
阶数为奇数时[公式] ,则 [公式]
阶数为偶数时[公式] 的特征值为0或纯虚数，且共轭虚数成对出现，有 [公式]
正定矩阵
本校线性代数仅在实数域上考虑正定矩阵，可以认为正定矩阵一定是实对称矩阵
设[公式] 为 [公式] 阶实对称矩阵，则如下结论等价
此处仅证第5条
由性质4可知[公式] ,则 [公式]
用齐次线性方程组只有零解证明可逆
（2019春夏）设[公式] 是 [公式] 阶正定矩阵， [公式] 是反对称矩阵，证明 [公式] 可逆。
证明[公式] 可逆，即证 [公式] 只有零解
若有[公式]
则有[公式]
[公式]
两式相加，[公式] ，由 [公式] 的正定性知 [公式] ,得证
证明特征值均为实数
显然看到如上标题，我们就想到了实对称矩阵特征值均为实数
（2021秋冬）[公式] 为 [公式] 阶实对称矩阵， [公式] 为 [公式] 阶正定矩阵，证明 [公式] 的特征值均为实数
由[公式] 的特征值均为实数想到 [公式] 与某实对称矩阵相似
由[公式] 为实对称矩阵，知存在可逆矩阵 [公式] 使得 [公式] 则 [公式]
[公式] 仍为对称矩阵，得证。
（2020秋冬）设[公式] 都是 [公式] 阶实对称矩阵且 [公式] 正定，试证明 [公式] 可相似对角化
该题与上题思路基本一样，读者可自行尝试
通过证明特征值不为0来证明实对称矩阵可逆
由于实对称矩阵的特征值均为实数，而[公式] ，可知特征值均不为0即可证明 [公式] 可逆
（2017春夏）设[公式] 是 [公式] 阶实对称矩阵，如果有 [公式] 阶实矩阵 [公式] ，使得 [公式] 的所有特征值为正实数，证明 [公式] 可逆。
很容易发现[公式] ，即 [公式] 对称且正定。
[公式] （这是一个数，转置也还是一个数）
设[公式] , [公式]
可知[公式] ，得证。
用特征值说明某行列式不为0
（2017秋冬）设[公式] 为可逆的 [公式] 阶矩阵， [公式] 为 [公式] 阶实反对称矩阵，且有 [公式] ，证明 [公式] 可逆
由[公式] 知 [公式]
只需证明[公式]
首先证明[公式]
由[公式] 可逆， [公式]
由[公式]
[公式] 为反对称矩阵
可知其特征值不可能为[公式]
从而[公式] ，得证。
