怎么化二次积分为极坐标形式的积分?

发布网友发布时间：2024-10-14 23:08

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热心网友时间：2024-11-18 11:47

要将二次积分转换为极坐标形式，首先需要理解极坐标的基本概念。极坐标系中，每一个点由距离原点的半径r和角度θ来定义，面积微元为r^2dθdr。直角坐标与极坐标间的转换公式是x=rcosθ，y=rsinθ。

对于二重积分，形式为∫∫_D f(x,y)dxdy，其中D是积分区域。为了将其转换为极坐标形式，关键在于用极坐标表示D区域。

以积分区域D为例。首先，固定θ值，θ变化范围为0到π（或者根据具体区域调整），同时r变化范围需根据θ确定。以图示区域D为例，当θ确定时，r的变化范围可通过极坐标与直角坐标转换得到。

具体地，用坐标转换公式x=rcosθ代入积分区域边界，求得r与θ的交点。例如，当θ确定时，求得r的两个交点，即极坐标下的边界点。由此可得，当θ确定时，r的变化范围（即两边界点间）是[公式]。

同理，用坐标转换公式y=rsinθ代入积分区域边界，同样求得r与θ的交点，得到θ确定时r的变化范围。

最终，可以写出在极坐标下的积分形式：∫∫_D f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。对于积分区域D，通过确定θ和r的范围，可以实现从直角坐标到极坐标的转换。

为加深理解，可以参考相关文章或观看动图进行辅助学习。若需详细计算，需具体分析积分区域的边界和特性。