凸优化笔记4:凸函数
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发布时间：2024-10-14 12:02
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时间：2024-11-13 11:42
1. 凸函数的基本概念
当函数 f 的定义域为凸集，并且其扩展函数 [公式] 对于所有点 (x) 都满足 [公式] 的条件时，f 被称为凸函数。扩展函数是对原函数定义域的扩充，便于对凸性进行分析。
2. 凸函数的判定方法
“降维打击”法指出，如果函数 [公式] 在所有方向上的*都是凸的，则 f 是凸函数。例如，对于函数 [公式]，其映射 [公式] 的* g(t) 为凹函数，导致 f 本身是凹函数。
一阶条件表明，如果 [公式]，则 f 是凸函数。二阶条件则要求海森矩阵 [公式] 对所有点满足正定性，以此验证凸性。例如，对于可微函数，如果 [公式]，则 f 是凸的。
3. 凸函数的几何特性
下水平集 [公式] 是凸集，但并非所有凸集都能表示为下水平集。例如，欧几里得球是凸集，其定义为欧几里得范数的水平集 [公式]。
Epigraph，即函数 [formula] 的上方区域，其凸性与 f 的凸性一致。其几何特性可通过支撑超平面的法向量 [formula] 描述，如函数 [formula] 在 [formula] 上凸性由线性矩阵不等式体现。
4. 凸函数的不等式性质
凸函数 f 满足著名的詹森不等式：[公式]。证明可以通过离散和连续情况下的分析进行。值得注意的是，凸函数在大多数点上是可微的，但如 ReLU 函数这样的特殊点可能不可微。
