阿列夫零↑↑↑阿列夫零是否是不可达基数?

发布网友发布时间：2024-10-14 01:05

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热心网友时间：2024-10-14 03:32

对于高德纳箭头的递归定义，拓展至无穷基数上，箭头右侧的值需取全体序数，而非仅限基数。将形如 [公式] 的表达式视为 [公式] 处理。

如果直接令 [公式] 出发，这个出发点其实存在问题。在假设广义连续统假设成立的背景下，我们得到 [公式] 。接下来，进行递推推理。

在拓展高德纳箭头到无穷基数上时，单个箭头运算与基数幂运算有所不同，故不能直接将其当作基数幂来处理。由此，统一规则的拓展导致递推定义与基数幂不同。

通过声明高德纳箭头左侧参数为序数，并以序数乘法处理乘法，我们可以得到稍微有趣的结果。递归得到的高德纳箭头 [公式] 为可数序数。计算中，得到（序数幂） [公式] ，从而 [公式] 。进而 [公式] 。此现象源于假设序数函数 [公式] 连续，即对于任意极限序数 [公式] ，有 [公式] 。基于此，递归有如上结论。

序数乘法在第二个参数上连续，使得单个高德纳箭头在[公式] 次迭代后稳定。而基数幂并不连续，导致双箭头运算没有上述现象。但高德纳箭头基于右侧参数递归定义，因此任意高德纳箭头运算自身连续，解释了三箭头层次在 [公式] 次迭代后稳定的现象。

因此，将高德纳箭头推广至无穷基数上时，叠加超过两个箭头的运算在任何基数运算出发下，都是平凡、无意义的。这不同于有限情况，增加箭头数量可获得任意大的无穷基数。