【数学】正整数集和正偶数集的元素个数,哪个更多?
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发布时间：2024-10-13 22:55
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时间：2024-11-05 23:04
在上个世纪20年代，在德国的哥廷根市有一家特殊的旅馆，其特殊之处在于有无限多个房间，并且所有的房间都是处于住满的状态。
有一天晚上，一个男子走进了旅店，向前台要求开一个房间。前台工作人员感觉很为难，虽然有无数个房间，但所有的房间都满了。此时外面突然下了大雨，直接拒绝也会影响酒店的声誉，因此前台找了值班的大堂经理来解决问题，经理表示可以给他开一间房。
怎么可能呢？很简单，他发了一个广播，让1号房间的客人搬到了2号房间，2号房间的客人搬到了3号房间，依次类推，n号房间的客人搬入n+1号房间。对于每个客人而言这并不复杂，只需要拎着包到自己的下一号房间就行，与此同时，1号房间就被空了出来，可以让那位男子住进去。
就在前台松了一口气的时候，突然来了一辆大巴车，上面载着一个20人的旅行团。聪明的前台这次没有去找经理，而是直接让刚住进去1号房间的男子去了21号房间，2号房间的客人去22房，依次类推，n号房间的客人去了n+20号房间。虽然这次跑的有点远，但是至少客人们还是有确定的地方去的，所以就有了空出来的20个房间。
可能今夜注定是一个不平凡的夜晚，就在前台完成了工作的时候，又来了一辆大巴，上面载着一个无限人的旅行团。前台一开始觉得可以用相同的办法来解决问题，但突然发现情况有点不对劲。在准备通知1号房间客人的时候，他并不知道该让客人去哪一个房间，因为不管去哪一间，都只能空出有限数字的房间。
没有办法的前台，只能再次求助经理。经理想了一下，有了一个绝妙的主意。他让1号房间的客人搬去2号房间，2号房间的客人搬去4号房间，依次类推，让n号房间的客人搬去2n号房间。于是，虽然房间号为偶数的房间都住满了，但是房间号为奇数的房间都空出来了，刚好可以让旅行团的人住进去。
当一个事情有变坏的可能时，它一定会往这种可能去发展。①
大概是因为暴雨，其他的旅行团都找不到有空房的旅馆，因此源源不断地汇聚到这家有着无限房间的旅馆来。而对于经理而言，他只能去想办法解决，不然旅店老板就会把他解决掉。
好在经理曾经学过一点数学②，知道质数是有无穷多个的③。因此，他想到了一个方法，让现在的n号房间的客人搬去2ⁿ次方房间去。然后第一辆大巴上的旅客依次去3号、3²号、3³号……的房间；同理，第二辆大巴上的旅客依次去5号、5²号、5³号……的房间。
以此类推，第n辆大巴上的旅客依次去房间号是以第n+1个质数为底的1次方、2次方、3次方……的房间。因为这些房间底数都是质数，所以房间号是绝不会重复的，因此，每一个客人都能找到自己所对应的房间了。甚至还会有一些房间空出来，比如1、6、10号房间，因为它们不是任何质数的非零指数幂，万一再有其他旅客过来，正好可以安排进去。
这间旅馆有着一个独特的名字——希尔伯特旅馆，它当然不存在于现实中，而是由德国哥廷根大学的数学教授大卫·希尔伯特提出的一个思想实验。第一个章节的故事对应的的就是我们上一篇文章所提的自然数和正整数的对应，那位男子就是“多出的0”。第二个章节的故事仅仅只是推广而已。
那么，我们上一篇文章中的问题2在哪儿呢？鸽了？
答案就在第三个章节中，原本住满的客房是正整数，而每一个正整数n我们都找到了一个偶数2n与之对应，这就构成了正整数集与正偶数集合的一一对应，它们的元素个数应该是一样多的。
在问题一和二中，以及我们今天所谈到的“希尔伯特旅馆”故事中，虽然他们都涉及到了无穷，但它们都是最小的无穷，主要是可数的自然数1、2、3……。而这个可数无穷，被集合论的创始人——格奥尔格·康托尔称之为“阿列夫零”（Aleph-null）。
阿列夫零是第“一”个无限，是最“小”的无限。它也是有限所无法想象的境界，有穷与无穷的第一个分界点。在它之下，所有的有穷堆积，都不如它这个最小的无穷。任何可以用“多一点”或者“少一点”形容的数字，都必然比它要小。所有能够用加减乘除来形容的数字，就必然永远及不上它。但另一方面，它又是最小的无穷。在它之上，只要是比它更“多”的无限，就是它无论如何都比不过的无限。第二个无限和阿列夫零的差距，就和它与有限的差距一样大。④ 第二个无限，我们称之为——阿列夫1。
有关阿列夫1与问题3，我们会在第三章节来讲述，敬请期待。
备注：
①改编自墨菲定律的内容。
②本句灵感来源于希尔伯特对爱因斯坦的评价“哥廷根马路上的每一个孩子，都比爱因斯坦更懂得四维几何学”，当然，这句话后面还有一句“尽管如此，发现相对论的仍然是爱因斯坦而不是数学家”。
③古希腊数学家欧几里得于公元前约300年在《几何原本》中给出相关证明，只需假设存在一个最大的质数P，令M等于所有小于等于P的质数相乘的积再加1，此时M不能整除小于等于P的任何一个质数整除，此时M有可能是被比P大的质数整除，或者M自己是一个质数，不论是哪一种，都导致假设不成立，因此质数的个数是无限的。
④本文最后一段改编自小说《走进修仙》。
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