1.已知x,y为正数,且满足1/x+1/y=1,求2x+y的最小值2.已知x,y为正数,且...
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发布时间：2024-10-13 22:53
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热心网友
时间：2天前
1/x+1/y=1
1/y=1-1/x=(x-1)/x
y=x/(x-1)
令u=2x+y=2x+x/(x-1)=[2x(x-1)+x]/(x-1)=(2x^2-x)/(x-1)
令t=x-1,则x=t+1
u=(2t^2+3t+1)/t=2t+1/t+3≥2√2+3 当且仅当2t=1/t,即t=±√2/2
所以最小值为2√2+3.
2.同上方法.
y=5/x
u=2x+y=2x+5/x≥2√10 当且仅当2x=5/x,即x=√10/2
最小值为10
3.∵a,b皆为正数
则a/b+b/a≥2 当且仅当a/b=b/a,即a=b
2a/b+4b/a≥2√8=4√2 当且仅当2a/b=4b/a,即a=√2b
(2a+b)/b+(a+2b)/a=2a/b+1+1+2b/a≥2√4+2=6 当且仅当 2a/b=2b/a 即a=b
这里涉及到一个知识点
即 a+b≥2√(ab) (a,b皆大于0)
热心网友
时间：2天前
1、正(使用范围)；二、定；三、等(等号取得的条件)
1、2x＋y=(2x＋y)(1/x＋1/y)=3＋[2x/y＋y/x]至此，可以用基本不等式了；
2、2x＋y≥2√(2xy)=2√10,；
3、 a/b＋b/a≥2；
2a/b＋4b/a≥2√8=4√2；
(2a＋b)/b＋(a＋2b)/a=[2a/b＋1]＋[1＋2b/a]=2＋[2a/b＋2b/a]≥2＋2√4=6
