古典概型 及常见排列组合知识
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发布时间：2024-10-14 00:03
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时间：2024-10-14 03:58
古典概型是在试验结果有限且等可能性时定义概率的模型。若事件 A 有利场合数记为 M，样本空间基本事件个数记为 N，则事件 A 概率定义为 M/N。计算概率时，关键在于数清样本空间中基本事件的个数和事件 A 中基本事件的个数。
计数原理是古典概型的基石，包括加法原理和乘法原理。加法原理是完成一件事有 n 类办法，每类方法有不同方法数，总方法数为所有类方法数之和。乘法原理是完成一件事需分 n 个步骤，每步有不同方法数，总方法数为各步骤方法数的乘积。
利用计数原理，可得到不同排列组合的数量。例如，从 n 个不同元素中，有放回地取出 r 个元素的可重复排列不同方式有 nr 种。不放回地取出 r 个元素的不重复排列不同方式有 n! / (n-r)! 种，称为选排列。特别地，n 个元素的全排列有 n! 种。不放回地取 r 个元素的组合不同方式为 n! / (r!(n-r)!) 种。有放回地取 r 个元素组成的组合不同方式为 nr 种，称为重复组合数。
盒子模型是将 r 个球随机放入编号为 n 的盒子中的问题。球可辨时，不同放法个数取决于是否有限制。球不可辨时，问题转化为从所有位置中选 r 个位置放入球的不同排法，此为组合问题。
多组组合是将 n 个不同元素分为 k 个有序部分，不同分法个数为多项式系数。不尽相异元素的排列问题，属于同一类问题，关键在于考虑元素类之间的不同。
总之，古典概型和排列组合知识是概率论和组合数学的基础，应用广泛。理解计数原理、掌握排列组合的计算方法，对于解决概率问题至关重要。
