尺规作图三大问题的早期历史

发布网友发布时间：2024-10-13 23:47

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热心网友时间：2024-12-10 03:22

古希腊数学的独特地位，体现在其持续性成果中，大部分都源于数学领域。爱因斯坦曾言，数学命题涉及实在时不可靠，可靠时不涉及实在。这显示出数学的特性和与自然科学之间的区别，以及与现实世界的距离。在近代，许多学者试图以纯粹思辨研究自然科学，却往往难以准确把握。这是因为纯粹思辨最适合研究数学，而数学与自然科学之间的区别，正是以纯粹思辨研究自然科学的最大软肋。

在实验科学诞生之前，纯粹思辨是研究自然的主要方式，因此在数学之外的领域往往犯错。尽管如此，很多开创性的贡献仍受到尊敬，而持久性成果则大都来自数学领域。威尔伯·诺尔曾指出，古希腊数学中的“问题”主要指的是作图问题，并将其分为三大类：平面型、立体型和线型。帕普斯进一步将作图问题分为三类：可用直尺和圆规解决的平面型、需圆锥曲线辅助的立体型、需螺线等其他曲线的线型。

由于数学追求“最简”趋势，平面型问题通常不希望使用立体型或线型的工具。这一趋势使得“尺规作图”这一平面型作图框架具有特殊的重要性。据信，这一框架最早由公元前5世纪的希腊数学家恩诺皮德斯提出。欧几里得继承了这一框架，并在《几何原本》中用公设确立了“尺”和“规”的基本操作，解决了大量作图问题，使其更为著名。这一框架的著名，又使得“倍立方”、“三等分角”、“化圆为方”这三大问题因无法纳入这一框架而闻名。

其中，“倍立方”问题被追溯到柏拉图时代，据说源自一场瘟疫的神谕，要求将一个立方体祭坛的体积加倍。柏拉图巧妙地回应，称这一问题的解决依赖于找到给定线段的比例中项。这一提示被认为是数学问题转化为另一个数学问题的最早例子。梅内克缪斯则是最早解决“倍立方”问题的人之一，他使用两条抛物线解决了这一问题，但这一方法超出了“尺规作图”的框架，被归类为“立体型”问题。

相比之下，“三等分角”问题没有太多故事，可能源自与三等分线段的简单类比或与构造正多边形相关。而“化圆为方”问题则与公元前5世纪的古希腊哲学家阿那克萨哥拉有关，他在狱中思考此问题。解决这两个问题的方法并不局限于最早的方法，其中一种方法利用了阿基米德螺线。这种解决方式同样超出了“尺规作图”的框架，被归类为“线型”问题。

“尺规作图三大问题”还有许多其他解决方法，但所有方法都采用了尺规以外的工具，这超出了“尺规作图”的框架。这种必然性直到19世纪才得到证实，这使得“尺规作图三大问题”成为数学史上拖延最久才得到解决的问题之一。古希腊的先贤们很早就意识到这些问题是“非平面型”的，因此很早就采用了其他方法来解决，避免了过多的失败尝试。

他们采用的其他方法，如圆锥曲线和阿基米德螺线，不仅解决了“尺规作图三大问题”，也开创了数学发展的全新方向。圆锥曲线在后世科学中成为极为重要的数学元素。面对不可能问题时，古希腊的先贤们展示出的创造力，甚至比他们势如破竹的进展更能体现他们的智慧。