n阶矩阵A=(aij)n×n.其中aij=1 i.j=1 2…n。证明A可对角
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发布时间：2024-10-14 00:41
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时间：2024-10-25 11:05
说明A的元素全为1，它显然是对称的，而对称矩阵必定可以对角化（一般教材中均有此结论）
但是我猜提问者还会不满足，那么就展开多说几句：
如果能够证明A有n个线性无关的特征向量w1，w2，。。。wn（克赛敲不出，凑合吧），即可证明A可对角
因为假设这n个特征向量对应的特征值分别为t1，t2，。。。，tn（兰姆达敲不出，别苛责；还要注意ti中可能有相同的，本题中t1=n，t2=t3=tn=0，为什么，请往下看），则有Awi=ti×wi，i=1，2，。。。，n
合并起来，就有
A(w1，w2，。。。，wn)
=（Aw1，Aw2，。。。，Awn）
=(t1w1，t2w2，。。。，tnwn)
=（w1，w2，。。。，wn）×对角阵T
注意
首尾就是A(w1，w2，。。。，wn)=（w1，w2，。。。，wn）×对角阵T （*）
其中对角阵T对角线上元素依次为t1，t2，。。。，tn
因为w1，w2，。。。，wn线性无关，它们组成的矩阵(w1，w2，。。。，wn)可逆，从而（*）式子两边同时左乘矩阵(w1，w2，。。。，wn)的逆矩阵，就得到
(w1，w2，。。。，wn)的逆×A×（w1，w2，。。。，wn)=对角阵T
这就说明A可以对角化
好了，闲话休提，下面就尝试求出A的特征值，为什么t1=n，t2=t3=tn=0
还有为什么A有n个线性无关的特征向量w1，w2，。。。wn，均在下面给出证明
求特征值的方法一：用E代表单位矩阵
写出特征方程|tE-A|=0，求出特征值
|t-1 -1 -1 。。。 -1 -1 |
|-1 t-1 -1 。。。 -1 -1 |
| 。。。 。。。 。。。 |=0，各列都加到首列上，得到
|-1 -1 -1 。。。 t-1 -1 |
|-1 -1 -1 。。。 -1 t-1 |
|t-n -1 -1 。。。 -1 -1 |
|t-n t-1 -1 。。。 -1 -1 |
| 。。。 。。。 。。。 |=0，提取首列公因子t-n，得到
|t-n -1 -1 。。。 t-1 -1 |
|t-n -1 -1 。。。 -1 t-1 |
|1 -1 -1 。。。 -1 -1 |
|1 t-1 -1 。。。 -1 -1 |
| 。。。 。。。 。。。 |×（t-n）=0，
|1 -1 -1 。。。 t-1 -1 |
|1 -1 -1 。。。 -1 t-1 |
用首行的-1倍分别加到其下各行上，得到
|1 -1 -1 。。。 -1 -1 |
|0 t 0 。。。 0 0 |
| 。。。 。。。 。。。 |×（t-n）=0，
|0 0 0 。。。 t 0 |
|0 0 0 。。。 0 t |
得到上三角行列式，整理得[t^(n-1)]×(t-n)=0
解之得A的特征值为n（1重），0（n-1重）
求特征值的方法二：
因为A的特殊构造，可以取巧求其特征值：A中元素全为1，
它相似于对角阵，且该对角阵上元素即为A的n个特征值，
A和该对角阵的秩相等，显然A的秩为1（直接用秩的定义：非零子式最高阶数或者通过初等行变换均可），从而对角阵的秩也为1，说明对角阵的对角元素为n-1个零和一个非零数，该数可以通过两个相似矩阵的迹（对角线元素之和）相等
得到，A的迹为n，从而对角阵上非零数是n
因此，A的n个特征值为n（1重），0（n-1重）
最后再求A的n个特征向量，并说明它们线性无关：
当t=n时，求对应n的特征向量
就是求解（nE-A）x=0
（n-1 -1 -1 。。。 -1 -1 ） （x1 ）
（-1 n-1 -1 。。。 -1 -1 ） （x2 ）
（ 。。。 。。。 。。。 ）× （x3 ）=0向量
（-1 -1 -1 。。。 n-1 -1 ） （。 ）
（-1 -1 -1 。。。 -1 n-1 ） （。 ）
（。 ）
（xn-1 ）
（xn ）
求解该方程组，也是可以利用行变换，得到一个非零解向量
我敲字太累了，以下过程（包括求出t=0所对应的特征向量，应该可以得到n-1个无关的）省略。。。
以上两组解向量（1个和n-1个）对应不同的特征值合起来也是无关的，因此。。。。
