1乘2 2乘3 3乘4 4乘5 … N(N 1)=(?)(N为正整数) 解题过程

发布网友发布时间：2024-10-14 02:30

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热心网友时间：2024-10-28 09:58

针对问题1乘2，2乘3，3乘4，4乘5...N(N+1)=（？）（N为正整数），其解题过程如下：

首先，观察序列：1乘2，2乘3，3乘4，...，N乘（N+1）。可以看出，每一项都是连续整数的乘积。

设此序列的前n项和为S，则有：

S = 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + N*(N+1)

对每一项进行变形，将每一项写为：1*2 = (1*2*3 - 0*1*2)，2*3 = (2*3*4 - 1*2*3)，3*4 = (3*4*5 - 2*3*4)，以此类推，N*(N+1) = (N*(N+1)*(N+2) - (N-1)*N*(N+1))。

将变形后的每一项代入S中，发现序列中存在很多项相互抵消，仅保留首尾项和最终结果。

最终S简化为：S = (1*2*3 - 0*1*2) + (2*3*4 - 1*2*3) + ... + (N*(N+1)*(N+2) - (N-1)*N*(N+1)) = 1*2*3 - 0*1*2 + N*(N+1)*(N+2) - (N-1)*N*(N+1)

进一步简化得到：S = (N*(N+1)*(N+2) - N*(N+1)) = N*(N+1)*(N+2 - 1) = N*(N+1)*(N+1)

为了得到最终答案，我们将S除以3，因为每一项在变形过程中都乘以了3，所以最终答案为：S/3 = N*(N+1)*(N+1)/3

因此，给定序列1乘2，2乘3，3乘4，...，N乘（N+1）的和为N*(N+1)*(N+1)/3。